Механика. Исследование деформации изгиба балки и определение модуля Юнга. Рудин А.В - 10 стр.

                                               E
                             M = 2M ′ = 2        ⋅I.                        (15)
                                               ρ

      Момент М упругих сил, восстанавливающих форму бруса, равен
моменту внешней приложенной силы F, изгибающей брус. Если изгиб
бруса незначителен, то плечом силы F будет x - расстояние волокна a1b1 от
конца бруса. При значительном изгибе это плечо будет намного короче.
Тогда, подставляя выражение (8) в уравнение (15), для условия равновесия
бруса, получим:

                                               dϕ
                              F ⋅ x = 2E ⋅ I      .                         (16)
                                               dx

      Для нахождения стрелы прогиба конца бруса проведем в точках a1 и
b1 касательные к изогнутой поверхности бруса (рис.9). Угол между этими
касательными будет равен углу dϕ , образованному сечениями (m-m) и (n-
n). Обозначая через dλ смещение конца бруса вследствие изгиба только
одного рассматриваемого волокна, можно записать:

                                                             dλ
                           dλ = x ⋅ dϕ ,   или        dϕ =      .       (17)
                                                              x

     Подставляя (17) в (16), получим:       F ⋅ x 2 ⋅ dx = 2 E ⋅ I ⋅ dλ ,
откуда
                                        F
                                dλ =          x 2 dx .
                                       2E ⋅ I

      Интегрируя полученное выражение по всей длине бруса, находим
стрелу прогиба бруса:

                                    F                F ⋅ x3
                              λ=          ∫        =        +C.
                                              2
                                            x   dx                      (18)
                                   2E ⋅ I            6E ⋅ I

     Эта формула справедлива для прямоугольного бруса, закрепленного
одним концом.


                                    10