Механика. Исследование деформации изгиба балки и определение модуля Юнга. Рудин А.В - 8 стр.

                                       a1b1 − ab
                                   ε=            .
                                          ab
Но   a1b1 = (ρ + y )dϕ   и   ab = dx , поэтому

                                 (ρ + y )dϕ − dx
                                  ε=             .          (7)
                                        dx
     Чтобы упростить это выражение, рассмотрим волокно a0 b0 ,
принадлежащее нейтральному слою. Его длина a0 b0 = ρdϕ . Но волокна
нейтрального слоя не изменяют своей длины при деформации, поэтому

                                    dx = ρdϕ .              (8)

     Подставив выражение (8) в выражение (7) и сократив на dϕ ,
получим:

                                         y
                                   ε=      .                (9)
                                         ρ

      Следовательно, рассмотрение геометрической стороны задачи
показало, что относительная продольная деформация пропорциональна
расстоянию волокна от нейтральной оси.
      Если предположить, что отдельные волокна не давят друг на друга,
то каждое из них будет находиться в условиях простого растяжения (или
сжатия). В этом случае для перехода от удлинения ε к напряжению σ
можно воспользоваться законом Гука. Подставив выражение (9) в
уравнение (6), получим:

                                        E
                                 σ=       ⋅y .            (10)
                                        ρ

     Теперь определим момент внутренних сил относительно
нейтральной оси. Для этого вычислим сумму моментов элементарных
внутренних сил dF = σ ⋅ dS относительно этой оси и приравняем ее
изгибающему моменту:



                                          8