Ряды. - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

§5. òÑÄÙ ôÅÊÌÏÒÁ. òÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ × ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ 35
×ÏÚÎÉËÁÅÔ ×ÏÐÒÏÓ Ï ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÉ ÆÕÎËÃÉÉ × ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ É ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÉ
ÏÂÌÁÓÔÉ ÅÇÏ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ.
âÕÄÅÍ ÇÏ×ÏÒÉÔØ, ÞÔÏ ÆÕÎËÃÉÑ f (x) ÎÁ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ (x
0
− R; x
0
+ R) ÍÏÖÅÔ
ÂÙÔØ ÒÁÚÌÏÖÅÎÁ × ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ, ÅÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ, ÓÈÏÄÑ-
ÝÉÊÓÑ Ë f(x) ÎÁ ÜÔÏÍ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ, ÔÏ ÅÓÔØ
f(x) =
∞
X
n=0
a
n
(x −x
0
)
n
, x ∈ (x
0
− R; x
0
+ R).
÷ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑÈ Ï ÒÁÚÌÏÖÉÍÏÓÔÉ ÆÕÎËÃÉÉ × ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ ÏÓÎÏ×ÎÙÍÉ
Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ.
1) åÓÌÉ ÆÕÎËÃÉÑ f(x) ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÁÚÌÏÖÅÎÁ ÎÁ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ (x
0
−R; x
0
+
R) × ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ, ÔÏ ÜÔÏÔ ÒÑÄ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÑÄÏÍ ôÅÊÌÏÒÁ ÆÕÎËÃÉÉ
f(x) × ÔÏÞËÅ x
0
.
2) äÌÑ ÔÏÇÏ ÞÔÏÂÙ ÆÕÎËÃÉÑ f (x) ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÌÁÓØ ÓÔÅÐÅÎÎÙÍ ÒÑÄÏÍ ×
ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÔÏÞËÉ x
0
, ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ, ÞÔÏÂÙ × ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ
ÜÔÏÊ ÔÏÞËÉ ÆÕÎËÃÉÑ f(x) ÉÍÅÌÁ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ ×ÓÅÈ ÐÏÒÑÄËÏ×.
3) äÌÑ ÔÏÇÏ ÞÔÏÂÙ ÆÕÎËÃÉÑ f (x) ÍÏÇÌÁ ÂÙÔØ ÒÁÚÌÏÖÅÎÁ × ÒÑÄ ôÅÊÌÏ-
ÒÁ ÎÁ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ (x
0
− R; x
0
+ R), ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ É ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ, ÞÔÏÂÙ
ÏÓÔÁÔÏÞÎÙÊ ÞÌÅÎ × ÆÏÒÍÅ ìÁÇÒÁÎÖÁ × ÆÏÒÍÕÌÅ ôÅÊÌÏÒÁ ÄÌÑ ÜÔÏÊ
ÆÕÎËÃÉÉ
R
n
(f, x, x
0
) =
f
(n+1)
(x
0
+ θ(x − x
0
))
(n + 1)!
(x − x
0
)
n+1
, 0 < θ < 1
ÓÔÒÅÍÉÌÓÑ Ë ÎÕÌÀ ÐÒÉ n → ∞ ÎÁ ÕËÁÚÁÎÎÏÍ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ.
óÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ÍÅÔÏÄÙ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÆÕÎËÃÉÉ × ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ.
Á) îÅÐÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ × ÒÑÄ ôÅÊÌÏÒÁ.
÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ÎÁÈÏÄÑ f
(n)
(x
0
), ÆÏÒÍÁÌØÎÏ ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÒÑÄ
∞
X
n=0
f
n
(x
0
)
n!
(x − x
0
)
n
,
ÎÁÈÏÄÑÔ ÏÂÌÁÓÔØ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÜÔÏÇÏ ÒÑÄÁ É ÁÎÁÌÉÚÉÒÕÀÔ, ÄÌÑ ËÁËÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ
ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ x ÉÚ ÏÂÌÁÓÔÉ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï
f(x) =
∞
X
n=0
f
n
(x
0
)
n!
(x − x
0
)
n
.
ðÒÉÍÅÒ 2. òÁÚÌÏÖÉÔØ ÆÕÎËÃÉÀ f (x) = e
x
× ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ Ó ÃÅÎÔÒÏÍ ×
ÔÏÞËÅ x
0
= 0.
§5. òÑÄÙ ôÅÊÌÏÒÁ. òÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ × ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ                      35

×ÏÚÎÉËÁÅÔ ×ÏÐÒÏÓ Ï ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÉ ÆÕÎËÃÉÉ × ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ É ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÉ
ÏÂÌÁÓÔÉ ÅÇÏ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ.
   âÕÄÅÍ ÇÏ×ÏÒÉÔØ, ÞÔÏ ÆÕÎËÃÉÑ f (x) ÎÁ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ (x0 − R; x0 + R) ÍÏÖÅÔ
ÂÙÔØ ÒÁÚÌÏÖÅÎÁ × ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ, ÅÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ, ÓÈÏÄÑ-
ÝÉÊÓÑ Ë f (x) ÎÁ ÜÔÏÍ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ, ÔÏ ÅÓÔØ
                        ∞
                        X
              f (x) =         an (x − x0 )n,      x ∈ (x0 − R; x0 + R).
                        n=0

  ÷ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑÈ Ï ÒÁÚÌÏÖÉÍÏÓÔÉ ÆÕÎËÃÉÉ × ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ ÏÓÎÏ×ÎÙÍÉ
Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ.
   1) åÓÌÉ ÆÕÎËÃÉÑ f (x) ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÒÁÚÌÏÖÅÎÁ ÎÁ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ (x 0 − R; x0 +
      R) × ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ, ÔÏ ÜÔÏÔ ÒÑÄ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÑÄÏÍ ôÅÊÌÏÒÁ ÆÕÎËÃÉÉ
      f (x) × ÔÏÞËÅ x0.
   2) äÌÑ ÔÏÇÏ ÞÔÏÂÙ ÆÕÎËÃÉÑ f (x) ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÌÁÓØ ÓÔÅÐÅÎÎÙÍ ÒÑÄÏÍ ×
      ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÔÏÞËÉ x0 , ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ, ÞÔÏÂÙ × ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ
      ÜÔÏÊ ÔÏÞËÉ ÆÕÎËÃÉÑ f (x) ÉÍÅÌÁ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ ×ÓÅÈ ÐÏÒÑÄËÏ×.
   3) äÌÑ ÔÏÇÏ ÞÔÏÂÙ ÆÕÎËÃÉÑ f (x) ÍÏÇÌÁ ÂÙÔØ ÒÁÚÌÏÖÅÎÁ × ÒÑÄ ôÅÊÌÏ-
      ÒÁ ÎÁ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ (x0 − R; x0 + R), ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÏ É ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ, ÞÔÏÂÙ
      ÏÓÔÁÔÏÞÎÙÊ ÞÌÅÎ × ÆÏÒÍÅ ìÁÇÒÁÎÖÁ × ÆÏÒÍÕÌÅ ôÅÊÌÏÒÁ ÄÌÑ ÜÔÏÊ
      ÆÕÎËÃÉÉ
                       f (n+1)(x0 + θ(x − x0))
       Rn (f, x, x0) =                         (x − x0)n+1, 0 < θ < 1
                               (n + 1)!
     ÓÔÒÅÍÉÌÓÑ Ë ÎÕÌÀ ÐÒÉ n → ∞ ÎÁ ÕËÁÚÁÎÎÏÍ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ.
  óÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ÍÅÔÏÄÙ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÆÕÎËÃÉÉ × ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ.

  Á) îÅÐÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ × ÒÑÄ ôÅÊÌÏÒÁ.
  ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ÎÁÈÏÄÑ f (n) (x0), ÆÏÒÍÁÌØÎÏ ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÔ ÒÑÄ
                                ∞
                                X f n (x0)
                                               (x − x0)n ,
                                n=0
                                        n!
ÎÁÈÏÄÑÔ ÏÂÌÁÓÔØ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÜÔÏÇÏ ÒÑÄÁ É ÁÎÁÌÉÚÉÒÕÀÔ, ÄÌÑ ËÁËÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ
ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ x ÉÚ ÏÂÌÁÓÔÉ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï
                                      ∞
                                      X f n(x0)
                         f (x) =                   (x − x0)n.
                                      n=0
                                             n!

   ðÒÉÍÅÒ 2. òÁÚÌÏÖÉÔØ ÆÕÎËÃÉÀ f (x) = ex × ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ Ó ÃÅÎÔÒÏÍ ×
ÔÏÞËÅ x0 = 0.

Страницы