Ряды. - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

36 §5. òÑÄÙ ôÅÊÌÏÒÁ. òÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ × ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ
òÅÛÅÎÉÅ: äÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÏ× ÒÑÄÁ ôÅÊÌÏÒÁ, ÐÏÓÌÅÄÏ×Á-
ÔÅÌØÎÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÅÍ ÆÕÎËÃÉÀ f (x) :
f
0
(x) = e
x
, f
00
(x) = e
x
, . . . , f
(n)
(x) = e
x
, . . .
÷ÙÞÉÓÌÉÍ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÓÁÍÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ É ÅÅ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÈ ÐÒÉ x = 0.
f(0) = e
0
= 1, f
0
(0) = e
0
= 1, . . . , f
(n)
(0) = e
0
= 1, . . .
CÏÓÔÁ×ÉÍ ÄÌÑ ÆÕÎËÃÉÉ f (x) ÒÑÄ ôÅÊÌÏÒÁ.
(1) 1 +
1
1!
x +
1
2!
x
2
+
1
3!
x
3
+ . . . +
1
n!
x
n
+ . . .
ðÏÓËÏÌØËÕ ÄÌÑ ÒÁÄÉÕÓÁ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ R ÜÔÏÇÏ ÓÔÅÐÅÎÎÏÇÏ ÒÑÄÁ ÉÍÅÅÍ
R = lim
n→∞
(n + 1)!
n!
= lim
n→∞
n + 1 = +∞,
ÔÏ ÒÑÄ ÓÈÏÄÉÔÓÑ ÐÒÉ ÌÀÂÏÍ x.
÷ÙÑÓÎÉÍ, ÄÌÑ ËÁËÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ x ÎÁÊÄÅÎÎÏÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÓÈÏÄÉÔÓÑ Ë ÆÕÎË-
ÃÉÉ e
x
. ôÁË ËÁË
f
(n+1)
(x) = e
x
,
ÔÏ ÏÓÔÁÔÏÞÎÙÊ ÞÌÅÎ × ÆÏÒÍÅ ìÁÇÒÁÎÖÁ ÚÁÐÉÛÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ
R
n
(e
x
, x, 0) =
e
θx
(n + 1)!
x
n+1
<
e
x
(n + 1)!
x
n+1
ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ θ, 0 < θ < 1.
äÌÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ x ∈ (−∞; +∞)
lim
n→∞
R
n
(e
x
, x, 0) = lim
n→∞
e
x
(n + 1)!
x
n+1
= 0.
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÒÑÄ (1) ÓÈÏÄÉÔÓÑ Ë ÆÕÎËÃÉÉ e
x
ÐÒÉ ÌÀÂÏÍ x ∈ (−∞; +∞).
ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ,
e
x
= 1 +
x
1!
+
x
2
2!
+
x
3
3!
+ . . . +
x
n
n!
+ . . . ,
ÇÄÅ −∞ < x < +∞.
ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÍÅÔÏÄ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÆÕÎËÃÉÉ f(x) × ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ ÎÅÐÏ-
ÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÙÍ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅÍ ÅÅ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÈ f
(n)
(x
0
), n = 1, 2, 3, . . . ÐÏÚ×Ï-
ÌÑÅÔ ÎÁÊÔÉ, ËÁË ÐÒÁ×ÉÌÏ, ÔÏÌØËÏ ÌÀÂÏÅ ËÏÎÅÞÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÞÌÅÎÏ× ÜÔÏÇÏ ÒÑÄÁ,
ÐÏÓËÏÌØËÕ ÎÁÊÔÉ ÏÂÝÕÀ ÆÏÒÍÕÌÕ ÄÌÑ f
(n)
(x
0
) ÂÙ×ÁÅÔ ÚÁÔÒÕÄÎÉÔÅÌØÎÏ, ÎÅ
ÇÏ×ÏÒÑ ÕÖÅ Ï ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÉ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÒÑÄÁ Ë ÆÕÎËÃÉÉ f (x).
Â) éÓÐÏÌØÚÏ×ÁÎÉÅ ÏÓÎÏ×ÎÙÈ ÔÁÂÌÉÞÎÙÈ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÊ.
36                §5. òÑÄÙ ôÅÊÌÏÒÁ. òÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ × ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ

   òÅÛÅÎÉÅ: äÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÏ× ÒÑÄÁ ôÅÊÌÏÒÁ, ÐÏÓÌÅÄÏ×Á-
ÔÅÌØÎÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÅÍ ÆÕÎËÃÉÀ f (x) :
                f 0(x) = ex ,        f 00(x) = ex , . . . ,   f (n) (x) = ex , . . .
÷ÙÞÉÓÌÉÍ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÓÁÍÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ É ÅÅ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÈ ÐÒÉ x = 0.
          f (0) = e0 = 1,       f 0(0) = e0 = 1, . . . ,        f (n) (0) = e0 = 1, . . .
CÏÓÔÁ×ÉÍ ÄÌÑ ÆÕÎËÃÉÉ f (x) ÒÑÄ ôÅÊÌÏÒÁ.
                    1     1     1           1
(1)                 1+ x + x2 + x3 + . . . + xn + . . .
                    1!    2!    3!          n!
ðÏÓËÏÌØËÕ ÄÌÑ ÒÁÄÉÕÓÁ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ R ÜÔÏÇÏ ÓÔÅÐÅÎÎÏÇÏ ÒÑÄÁ ÉÍÅÅÍ
                          (n + 1)!
                     R = lim         = lim n + 1 = +∞,
                      n→∞     n!       n→∞

ÔÏ ÒÑÄ ÓÈÏÄÉÔÓÑ ÐÒÉ ÌÀÂÏÍ x.
   ÷ÙÑÓÎÉÍ, ÄÌÑ ËÁËÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ x ÎÁÊÄÅÎÎÏÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÓÈÏÄÉÔÓÑ Ë ÆÕÎË-
ÃÉÉ ex . ôÁË ËÁË
                             f (n+1)(x) = ex ,
ÔÏ ÏÓÔÁÔÏÞÎÙÊ ÞÌÅÎ × ÆÏÒÍÅ ìÁÇÒÁÎÖÁ ÚÁÐÉÛÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ

      x            eθx      n+1      ex
 Rn (e , x, 0) =          x     <          xn+1
                 (n + 1)!         (n + 1)!
                                                              ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ θ, 0 < θ < 1.
äÌÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÏÇÏ x ∈ (−∞; +∞)
                                 x             ex
                    lim Rn (e , x, 0) = lim          xn+1 = 0.
                   n→∞                  n→∞ (n + 1)!

óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÒÑÄ (1) ÓÈÏÄÉÔÓÑ Ë ÆÕÎËÃÉÉ ex ÐÒÉ ÌÀÂÏÍ x ∈ (−∞; +∞).
  ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ,
                     x    x x2 x3            xn
                  e =1+ +        +    + ...+     + ...,
                          1! 2!    3!        n!
ÇÄÅ −∞ < x < +∞.
   ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÍÅÔÏÄ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÆÕÎËÃÉÉ f (x) × ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ ÎÅÐÏ-
ÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÙÍ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅÍ ÅÅ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÈ f (n) (x0), n = 1, 2, 3, . . . ÐÏÚ×Ï-
ÌÑÅÔ ÎÁÊÔÉ, ËÁË ÐÒÁ×ÉÌÏ, ÔÏÌØËÏ ÌÀÂÏÅ ËÏÎÅÞÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÞÌÅÎÏ× ÜÔÏÇÏ ÒÑÄÁ,
ÐÏÓËÏÌØËÕ ÎÁÊÔÉ ÏÂÝÕÀ ÆÏÒÍÕÌÕ ÄÌÑ f (n) (x0) ÂÙ×ÁÅÔ ÚÁÔÒÕÄÎÉÔÅÌØÎÏ, ÎÅ
ÇÏ×ÏÒÑ ÕÖÅ Ï ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÉ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÒÑÄÁ Ë ÆÕÎËÃÉÉ f (x).
   Â) éÓÐÏÌØÚÏ×ÁÎÉÅ ÏÓÎÏ×ÎÙÈ ÔÁÂÌÉÞÎÙÈ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÊ.

Страницы