Ряды. - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

38 §5. òÑÄÙ ôÅÊÌÏÒÁ. òÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ × ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ
÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ,
(2n − 1)!! = (2n − 1) · (2n − 3) · . . . · 7 · 5 · 3 · 1,
(2n)!! = (2n) · (2n − 2) · . . . · 8 · 6 · 4 · 2.
ðÒÉÍÅÒ 3. òÁÚÌÏÖÉÔØ ÆÕÎËÃÉÀ f (x) = e
1−2x
3
× ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ Ó ÃÅÎÔÒÏÍ
× ÔÏÞËÅ x
0
= 0.
òÅÛÅÎÉÅ: ðÏÓËÏÌØËÕ e
1−2x
3
= e ·e
−2x
3
, ÔÏ, ÐÏÌÁÇÁÑ −2x
3
= y É ÉÓÐÏÌØÚÕÑ
ÔÁÂÌÉÞÎÏÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÄÌÑ ÆÕÎËÃÉÉ e
y
, ÉÍÅÅÍ ÒÑÄ
e
1−2x
3
= e · e
−2x
3
= e · e
y
= e ·
1 + y +
y
2
2!
+ . . . +
y
n
n!
+ . . .
=
= e ·
1 + (−2x
3
) +
(−2x
3
)
2
2!
+ . . . +
(−2x
3
)
n
n!
+ . . .
=
= e − 2ex
3
+
2
2
e
2!
x
6
+ . . . + (−1)
n
2
n
e
n!
x
3n
+ . . .
ôÁË ËÁË ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ × ÒÑÄ ÆÕÎËÃÉÉ e
y
ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÄÌÑ ×ÓÅÈ y, ÔÏ É ÒÁÚ-
ÌÏÖÅÎÉÅ × ÒÑÄ ÄÁÎÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÄÌÑ ×ÓÅÈ |x| < ∞.
ðÒÉÍÅÒ 4. òÁÚÌÏÖÉÔØ ÆÕÎËÃÉÀ f (x) =
1
1+4x
2
× ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ Ó ÃÅÎÔÒÏÍ
× ÔÏÞËÅ x
0
= 0.
òÅÛÅÎÉÅ: ðÏÌÁÇÁÑ 4x
2
= y É ÉÓÐÏÌØÚÕÑ ÔÁÂÌÉÞÎÏÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÄÌÑ
ÆÕÎËÃÉÉ
1
1+y
, ÉÍÅÅÍ ÒÑÄ
1
1 + 4x
2
= 1 − 4x
2
+ (4x
2
)
2
− (4x
2
)
3
+ . . . + (−1)
n
(4x
2
)
n
+ . . . =
= 1 − 4x
2
+ 16x
4
− 64x
6
+ . . . + (−1)
n
4
n
x
2n
+ . . .
üÔÏÔ ÒÑÄ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÉÓÈÏÄÎÕÀ ÆÕÎËÃÉÀ ÄÌÑ x ÔÁËÉÈ, ÞÔÏ |y| < 1, ÔÏ ÅÓÔØ
|4x
2
| < 1, É ÚÎÁÞÉÔ ÄÌÑ x ÉÚ ÐÒÏÍÅÖÕÔËÁ −
1
2
< x <
1
2
.
×) éÓÐÏÌØÚÏ×ÁÎÉÅ ÓÌÏÖÅÎÉÑ É ×ÙÞÉÔÁÎÉÑ ÒÑÄÏ×.
÷ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÓÌÕÞÁÑÈ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ × ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ ÍÏÖÎÏ ÐÏÌÕ-
ÞÉÔØ, ÓÕÍÍÉÒÕÑ ÔÁÂÌÉÞÎÙÅ ÉÌÉ ÒÁÎÅÅ ÎÁÊÄÅÎÎÙÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ.
ðÒÉÍÅÒ 5. òÁÚÌÏÖÉÔØ ÆÕÎËÃÉÀ f (x) =
1
x
2
−2x−3
× ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ Ó ÃÅÎ-
ÔÒÏÍ × ÔÏÞËÅ x
0
= 0.
òÅÛÅÎÉÅ:
f(x) =
1
x
2
− 2x − 3
=
1
4
1
x − 3
−
1
x + 1
= −
1
12
·
1
1 −
x
3
−
1
4
·
1
1 + x
.
ðÒÉÍÅÎÑÑ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÄÌÑ ÆÕÎËÃÉÊ
1
1+y
É
1
1−y
, ÉÍÅÅÍ
1
1 −
x
3
= 1 +
x
3
+
x
3
2
+ . . . +
x
3
n
+ . . . ,
x
3
< 1
38                  §5. òÑÄÙ ôÅÊÌÏÒÁ. òÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ × ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ

     ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ,
                (2n − 1)!! = (2n − 1) · (2n − 3) · . . . · 7 · 5 · 3 · 1,
                    (2n)!! = (2n) · (2n − 2) · . . . · 8 · 6 · 4 · 2.
                                                         3
    ðÒÉÍÅÒ 3. òÁÚÌÏÖÉÔØ ÆÕÎËÃÉÀ f (x) = e1−2x × ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ Ó ÃÅÎÔÒÏÍ
× ÔÏÞËÅ x0 = 0.
                                3          3
    òÅÛÅÎÉÅ: ðÏÓËÏÌØËÕ e1−2x = e · e−2x , ÔÏ, ÐÏÌÁÇÁÑ −2x3 = y É ÉÓÐÏÌØÚÕÑ
ÔÁÂÌÉÞÎÏÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÄÌÑ ÆÕÎËÃÉÉ ey , ÉÍÅÅÍ ÒÑÄ
                                          y2           yn
                                                               
    1−2x3        −2x3     y
  e       = e·e       =e·e =e· 1+y+          + ...+       + ... =
                                          2!           n!
                                  (−2x3)2           (−2x3)n
                                                                  
                            3
              = e · 1 + (−2x ) +          + ...+              + ... =
                                    2!                 n!
                                          3   22 e 6                   n
                                                                    n 2 e 3n
                                = e − 2ex +        x + . . . + (−1)       x + ...
                                               2!                      n!
    ôÁË ËÁË ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ × ÒÑÄ ÆÕÎËÃÉÉ ey ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÄÌÑ ×ÓÅÈ y, ÔÏ É ÒÁÚ-
ÌÏÖÅÎÉÅ × ÒÑÄ ÄÁÎÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÄÌÑ ×ÓÅÈ |x| < ∞.
                                                 1
    ðÒÉÍÅÒ 4. òÁÚÌÏÖÉÔØ ÆÕÎËÃÉÀ f (x) = 1+4x        2 × ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ Ó ÃÅÎÔÒÏÍ

× ÔÏÞËÅ x0 = 0.
    òÅÛÅÎÉÅ: ðÏÌÁÇÁÑ 4x2 = y É ÉÓÐÏÌØÚÕÑ ÔÁÂÌÉÞÎÏÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÄÌÑ
            1
ÆÕÎËÃÉÉ 1+y    , ÉÍÅÅÍ ÒÑÄ
    1
        2
          = 1 − 4x2 + (4x2)2 − (4x2)3 + . . . + (−1)n(4x2)n + . . . =
 1 + 4x
                           = 1 − 4x2 + 16x4 − 64x6 + . . . + (−1)n4n x2n + . . .
üÔÏÔ ÒÑÄ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÉÓÈÏÄÎÕÀ ÆÕÎËÃÉÀ ÄÌÑ x ÔÁËÉÈ, ÞÔÏ |y| < 1, ÔÏ ÅÓÔØ
|4x2| < 1, É ÚÎÁÞÉÔ ÄÌÑ x ÉÚ ÐÒÏÍÅÖÕÔËÁ − 21 < x < 21 .
   ×) éÓÐÏÌØÚÏ×ÁÎÉÅ ÓÌÏÖÅÎÉÑ É ×ÙÞÉÔÁÎÉÑ ÒÑÄÏ×.
   ÷ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÓÌÕÞÁÑÈ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ × ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ ÍÏÖÎÏ ÐÏÌÕ-
ÞÉÔØ, ÓÕÍÍÉÒÕÑ ÔÁÂÌÉÞÎÙÅ ÉÌÉ ÒÁÎÅÅ ÎÁÊÄÅÎÎÙÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ.
                                                1
   ðÒÉÍÅÒ 5. òÁÚÌÏÖÉÔØ ÆÕÎËÃÉÀ f (x) = x2 −2x−3       × ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ Ó ÃÅÎ-
ÔÒÏÍ × ÔÏÞËÅ x0 = 0.
   òÅÛÅÎÉÅ:
                                         
                  1        1    1     1           1      1     1    1
     f (x) = 2          =          −         =− ·            −   ·     .
             x − 2x − 3 4 x − 3 x + 1             12 1 − x3 4 1 + x
                                                   1         1
ðÒÉÍÅÎÑÑ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÄÌÑ ÆÕÎËÃÉÊ 1+y           É 1−y  , ÉÍÅÅÍ
             1          x  x 2            x n               x
                  = 1 +   +      + . . . +        +  . . . ,       <1
           1 − x3       3   3                3                  3

Страницы