Ряды. - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

40 §5. òÑÄÙ ôÅÊÌÏÒÁ. òÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ × ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ
ðÒÉÍÅÒ 7. òÁÚÌÏÖÉÔØ ÆÕÎËÃÉÀ f (x) =
1
x
× ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ Ó ÃÅÎÔÒÏÍ ×
ÔÏÞËÅ x
0
= −3.
òÅÛÅÎÉÅ: ïÂÏÚÎÁÞÉÍ t = x + 3, ÔÏÇÄÁ x = t −3, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ
f(x) = f
∗
(t) =
1
t − 3
= −
1
3
·
1
1 −
t
3
.
ðÏÌÁÇÁÅÍ
t
3
= y É, ÉÓÐÏÌØÚÕÑ ÔÁÂÌÉÞÎÏÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÄÌÑ ÆÕÎËÃÉÉ
1
1−y
, ÉÍÅÅÍ
ÒÑÄ
f
∗
(t) = −
1
3
1 +
t
3
+
t
3
2
+ . . . +
t
3
n
+ . . .
!
,
|y| < 1,
t
3
< 1, −3 < t < 3.
÷ÏÚ×ÒÁÝÁÑÓØ Ë ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ x, ÐÏÌÕÞÁÅÍ
1
x
= −
1
3
−
(x + 3)
3
2
−
(x + 3)
2
3
3
− . . . −
(x + 3)
n
3
n+1
− . . . ,
− 3 < x + 3 < 3, −6 < x < 0.
Ç) ðÏÞÌÅÎÎÏÅ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÒÑÄÏ×.
ðÕÓÔØ ÆÕÎËÃÉÑ f(x) ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ
f(x) = f (x
0
) +
x
Z
x
0
ϕ(t) dt,
ÇÄÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ
ϕ(t) =
∞
X
n=0
a
n
(t − x
0
)
n
×ÎÕÔÒÉ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÁ |t − x
0
| < R ÉÚ×ÅÓÔÎÏ. ôÏÇÄÁ ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï
f(x) = f (x
0
) +
∞
X
n=0
a
n
(x − x
0
)
n+1
n + 1
, |x − x
0
| < R.
ðÒÉÍÅÒ 8. òÁÚÌÏÖÉÔØ ÆÕÎËÃÉÀ
f(x) =
x
Z
0
ϕ(t) dt, ϕ(t) =
ln(1+t)
t
, t 6= 0,
1, t = 0
× ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ Ó ÃÅÎÔÒÏÍ × ÔÏÞËÅ x
0
= 0 ÎÁ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ |x| < 1.
40                  §5. òÑÄÙ ôÅÊÌÏÒÁ. òÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ × ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ

   ðÒÉÍÅÒ 7. òÁÚÌÏÖÉÔØ ÆÕÎËÃÉÀ f (x) = x1 × ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ Ó ÃÅÎÔÒÏÍ ×
ÔÏÞËÅ x0 = −3.
   òÅÛÅÎÉÅ: ïÂÏÚÎÁÞÉÍ t = x + 3, ÔÏÇÄÁ x = t − 3, ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ
                                               1    1   1
                        f (x) = f ∗(t) =          =− ·       .
                                              t−3   3 1 − 3t
            t                                                                           1
ðÏÌÁÇÁÅÍ    3
                = y É, ÉÓÐÏÌØÚÕÑ ÔÁÂÌÉÞÎÏÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÄÌÑ ÆÕÎËÃÉÉ                      1−y
                                                                                           ,   ÉÍÅÅÍ
ÒÑÄ
                              2         n      !
            1       t         t           t
 f ∗(t) = −       1+ +            + ...+      + ... ,
            3       3         3           3
                                                                           t
                                                           |y| < 1,          < 1,    −3 < t < 3.
                                                                           3
÷ÏÚ×ÒÁÝÁÑÓØ Ë ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ x, ÐÏÌÕÞÁÅÍ

 1   1 (x + 3) (x + 3)2       (x + 3)n
   =− −       −         −...−          − ...,
 x   3    32      33            3n+1
                                    − 3 < x + 3 < 3,                                 −6 < x < 0.

     Ç) ðÏÞÌÅÎÎÏÅ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÒÑÄÏ×.
     ðÕÓÔØ ÆÕÎËÃÉÑ f (x) ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ
                                                      Zx
                                  f (x) = f (x0) +         ϕ(t) dt,
                                                      x0
ÇÄÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ
                                             ∞
                                             X
                                    ϕ(t) =         an (t − x0)n
                                             n=0
×ÎÕÔÒÉ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÁ |t − x0| < R ÉÚ×ÅÓÔÎÏ. ôÏÇÄÁ ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï
                                      ∞
                                      X an (x − x0 )n+1
                 f (x) = f (x0) +                              ,   |x − x0 | < R.
                                      n=0
                                               n+1
     ðÒÉÍÅÒ 8. òÁÚÌÏÖÉÔØ ÆÕÎËÃÉÀ
                             Zx                               ln(1+t)
                                                                       ,   t 6= 0,
                   f (x) =        ϕ(t) dt,     ϕ(t) =             t
                                                                   1,      t=0
                             0

× ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ Ó ÃÅÎÔÒÏÍ × ÔÏÞËÅ x0 = 0 ÎÁ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ |x| < 1.

Страницы