Ряды. - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

§5. òÑÄÙ ôÅÊÌÏÒÁ. òÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ × ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ 41
òÅÛÅÎÉÅ: òÁÚÌÁÇÁÑ ÆÕÎËÃÉÀ
ln(1+t)
t
× ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ Ó ÃÅÎÔÒÏÍ × ÔÏÞËÅ
t
0
= 0 É ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÑ ÐÏÞÌÅÎÎÏ ÐÏÌÕÞÅÎÎÙÊ ÒÑÄ, ÉÍÅÅÍ
f(x) =
x
Z
0
ln(1 + t)
t
dt =
x
Z
0
1
t
t −
t
2
2
+ . . . + (−1)
n−1
t
n
n
+ . . .
dt =
=
x
Z
0
1 −
t
2
+ . . . + (−1)
n−1
t
n−1
n
+ . . .
dt, −1 < t 6 1, t 6= 0.
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,
f(x) = x −
x
2
4
+
x
3
9
+ . . . + (−1)
n−1
x
n
n
2
+ . . .
üÔÏ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ×ÅÒÎÏ É × ÔÏÞËÅ x = 0, ÔÏ ÅÓÔØ ÄÌÑ ×ÓÅÈ |x| < 1, ÓÍ. ÔÁËÖÅ
ÐÒÉÍÅÒ 7 §4.
Ä) ðÏÞÌÅÎÎÏÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÒÑÄÏ×.
ðÕÓÔØ ÎÁÄÏ ÎÁÊÔÉ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ × ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ. åÓÌÉ
ÕÄÁÓÔÓÑ ÎÁÊÔÉ ÔÁËÕÀ ÆÕÎËÃÉÀ g(x), ÞÔÏ f(x) = g
0
(x), ÔÏ, ÒÁÚÌÏÖÉ× ÆÕÎË-
ÃÉÀ g(x) × ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ É ÐÒÏÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÏ×Á× ÅÇÏ ÐÏÞÌÅÎÎÏ, ÐÏÌÕÞÉÍ
ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ × ÒÑÄ ÆÕÎËÃÉÉ f(x). ðÒÉ ÜÔÏÍ ÐÏÌÕÞÅÎÎÏÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ×ÅÒÎÏ
ÎÁ ÔÏÍ ÖÅ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ, ÇÄÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ×ÅÒÎÏ ÄÌÑ ÆÕÎËÃÉÉ
g(x).
ðÒÉÍÅÒ 9. òÁÚÌÏÖÉÔØ ÆÕÎËÃÉÀ f(x) =
1
(1+x)
2
× ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ Ó ÃÅÎÔÒÏÍ
× ÔÏÞËÅ x
0
= 0.
òÅÛÅÎÉÅ: ðÏÓËÏÌØËÕ
1
(1+x)
2
= −
1
1+x
0
, ÔÏ ÉÍÅÅÍ
1
(1 + x)
2
= −
1
1 + x
0
= −(1 − x + x
2
− x
3
+ . . . + (−1)
n
x
n
+ . . .)
0
=
= 1 − 2x + 3x
2
− . . . + (−1)
n−1
nx
n−1
+ . . .
ôÁË ËÁË ÐÒÉ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÏ×ÁÎÉÉ ÉÎÔÅÒ×ÁÌ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÓÔÅÐÅÎÎÏÇÏ ÒÑÄÁ ÎÅ
ÍÅÎÑÅÔÓÑ, ÔÏ ÎÁÊÄÅÎÎÏÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÐÒÉ −1 < x < 1, ÓÍ. ÔÁËÖÅ
ÐÒÉÍÅÒÙ 8 É 9 §4.
úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ
îÁÐÉÓÁÔØ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ × ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ Ó ÃÅÎÔÒÏÍ × ÔÏÞËÅ x
0
= 0 É
ÎÁÊÔÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÐÏÌÕÞÅÎÎÏÇÏ ÒÑÄÁ:
179) sh x =
e
x
− e
−x
2
.
§5. òÑÄÙ ôÅÊÌÏÒÁ. òÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ × ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ                                      41

   òÅÛÅÎÉÅ: òÁÚÌÁÇÁÑ ÆÕÎËÃÉÀ ln(1+t)
                                   t  × ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ Ó ÃÅÎÔÒÏÍ × ÔÏÞËÅ
t0 = 0 É ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÑ ÐÏÞÌÅÎÎÏ ÐÏÌÕÞÅÎÎÙÊ ÒÑÄ, ÉÍÅÅÍ
           Zx                       Zx
                                                t2                    n
                                                                              
                ln(1 + t)                1                      n−1 t
 f (x) =                  dt =               t − + . . . + (−1)         + . . . dt =
                    t                    t      2                   n
           0                        0
                    Zx                               n−1
                                                                 
                                t               n−1 t
                =            1 − + . . . + (−1)           + . . . dt,   −1 < t 6 1, t 6= 0.
                                2                     n
                    0
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,
                            x2 x3                 n−1 x
                                                        n
                f (x) = x −    +   + . . . + (−1)         + ...
                            4    9                    n2
üÔÏ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ×ÅÒÎÏ É × ÔÏÞËÅ x = 0, ÔÏ ÅÓÔØ ÄÌÑ ×ÓÅÈ |x| < 1, ÓÍ. ÔÁËÖÅ
ÐÒÉÍÅÒ 7 §4.
   Ä) ðÏÞÌÅÎÎÏÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÒÑÄÏ×.
   ðÕÓÔØ ÎÁÄÏ ÎÁÊÔÉ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ × ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ. åÓÌÉ
ÕÄÁÓÔÓÑ ÎÁÊÔÉ ÔÁËÕÀ ÆÕÎËÃÉÀ g(x), ÞÔÏ f (x) = g 0 (x), ÔÏ, ÒÁÚÌÏÖÉ× ÆÕÎË-
ÃÉÀ g(x) × ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ É ÐÒÏÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÏ×Á× ÅÇÏ ÐÏÞÌÅÎÎÏ, ÐÏÌÕÞÉÍ
ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ × ÒÑÄ ÆÕÎËÃÉÉ f (x). ðÒÉ ÜÔÏÍ ÐÏÌÕÞÅÎÎÏÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ×ÅÒÎÏ
ÎÁ ÔÏÍ ÖÅ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ, ÇÄÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ×ÅÒÎÏ ÄÌÑ ÆÕÎËÃÉÉ
g(x).
                                               1
   ðÒÉÍÅÒ 9. òÁÚÌÏÖÉÔØ ÆÕÎËÃÉÀ f (x) = (1+x)      2 × ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ Ó ÃÅÎÔÒÏÍ

× ÔÏÞËÅ x0 = 0.
                            1         1 0
                                          
   òÅÛÅÎÉÅ: ðÏÓËÏÌØËÕ (1+x)   2 = − 1+x     , ÔÏ ÉÍÅÅÍ
                   0
    1            1
         2
           =−          = −(1 − x + x2 − x3 + . . . + (−1)nxn + . . .)0 =
 (1 + x)        1+x
                               = 1 − 2x + 3x2 − . . . + (−1)n−1nxn−1 + . . .
ôÁË ËÁË ÐÒÉ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÏ×ÁÎÉÉ ÉÎÔÅÒ×ÁÌ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÓÔÅÐÅÎÎÏÇÏ ÒÑÄÁ ÎÅ
ÍÅÎÑÅÔÓÑ, ÔÏ ÎÁÊÄÅÎÎÏÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÐÒÉ −1 < x < 1, ÓÍ. ÔÁËÖÅ
ÐÒÉÍÅÒÙ 8 É 9 §4.

úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ

îÁÐÉÓÁÔØ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ × ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ Ó ÃÅÎÔÒÏÍ × ÔÏÞËÅ x 0 = 0 É
ÎÁÊÔÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÐÏÌÕÞÅÎÎÏÇÏ ÒÑÄÁ:
              ex − e−x
  179) sh x =          .
                  2

Страницы