Ряды. - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

§5. òÑÄÙ ôÅÊÌÏÒÁ. òÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ × ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ 39
É
1
1 + x
= 1 − x + x
2
− . . . + (−1)
n
x
n
+ . . . , |x| < 1,
ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ÐÏÌÕÞÁÅÍ
(2) f(x) = −
1
12
1 +
x
3
+
x
3
2
+ . . . +
x
3
n
+ . . .
−
−
1
4
(1 − x + x
2
− . . . + (−1)
n
x
n
+ . . .) =
= −
1
3
+
2
9
x −
7
27
x
2
+ . . . +
(−1)
n+1
4
−
1
12
·
1
3
n
x
n
+ . . .
ðÏÓËÏÌØËÕ ÐÅÒ×ÙÊ ÒÑÄ ÓÈÏÄÉÔÓÑ Ë ÆÕÎËÃÉÉ
1
1−
x
3
ÐÒÉ |x| < 3, Á ×ÔÏÒÏÊ Ë
ÆÕÎËÃÉÉ
1
1+x
ÐÒÉ |x| < 1, ÔÏ ÒÑÄ (2) ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÆÕÎËÃÉÀ
1
x
2
−2x−3
ÐÒÉ
|x| < 1.
ðÒÉÍÅÒ 6. òÁÚÌÏÖÉÔØ × ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ ÆÕÎËÃÉÀ f (x) = ln(1 + x + x
2
) ×
ÔÏÞËÅ x
0
= 0.
òÅÛÅÎÉÅ: ðÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ ÄÁÎÎÕÀ ÆÕÎËÃÉÀ × ×ÉÄÅ
ln(1 − x + x
2
) = ln
1 + x
3
1 + x
= ln(1 + x
3
) − ln(1 + x).
ôÅÐÅÒØ ÒÁÚÌÏÖÉÍ × ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ ËÁÖÄÕÀ ÉÚ ÆÕÎËÃÉÊ ln(1 + x
3
) É ln(1 + x).
ln(1 + x
3
) = x
3
−
x
6
2
+
x
9
3
− . . . + (−1)
n−1
x
3n
n
+ . . . , |x
3
| < 1, |x| < 1,
ln(1 + x) = x −
x
2
2
+
x
3
3
− . . . + (−1)
n−1
x
n
n
+ . . . , |x| < 1.
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,
ln(1 − x + x
2
) =
= x −
x
2
2
+
1 +
1
3
x
3
−
x
4
4
+
x
5
5
−
1
2
+
1
6
x
6
+
x
7
7
− . . . , |x| < 1.
äÌÑ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÆÕÎËÃÉÉ f(x) × ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ Ó ÃÅÎÔÒÏÍ × ÔÏÞËÅ x
0
6= 0
ÞÁÓÔÏ ÐÒÉÍÅÎÑÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ÍÅÔÏÄ: ××ÏÄÉÔÓÑ ÎÏ×ÁÑ ÐÅÒÅÍÅÎÎÁÑ t = x −x
0
É ÉÝÅÔÓÑ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ f
∗
(t) = f(t+x
0
) × ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ ÐÏ ÓÔÅÐÅÎÑÍ
t (Ó ÃÅÎÔÒÏÍ × ÔÏÞËÅ t
0
= 0)
f
∗
(t) =
∞
X
n=0
a
n
t
n
, |t| < R,
ÏÔËÕÄÁ ÐÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ
f(x) =
∞
X
n=0
a
n
(x − x
0
)
n
, |x − x
0
| < R.
§5. òÑÄÙ ôÅÊÌÏÒÁ. òÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ × ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ                                     39

É
               1
                    = 1 − x + x2 − . . . + (−1)nxn + . . . , |x| < 1,
             1+x
ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ÐÏÌÕÞÁÅÍ
                                                      
              1        x  x 2             x n
(2) f (x) = −      1+ +          + ...+           + ... −
              12       3     3               3
                      1
                   − (1 − x + x2 − . . . + (−1)nxn + . . .) =
                      4                                            n 
                                                 (−1)n+1
                                               
                     1 2       7 2                           1     1
                 = − + x − x + ...+                       −     ·        xn + . . .
                     3 9       27                   4        12    3
ðÏÓËÏÌØËÕ ÐÅÒ×ÙÊ ÒÑÄ ÓÈÏÄÉÔÓÑ Ë ÆÕÎËÃÉÉ 1−1 x ÐÒÉ |x| < 3, Á ×ÔÏÒÏÊ Ë
                                             3
          1                                                    1
ÆÕÎËÃÉÉ 1+x   ÐÒÉ |x| < 1, ÔÏ ÒÑÄ (2) ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÆÕÎËÃÉÀ x2 −2x−3 ÐÒÉ
|x| < 1.
    ðÒÉÍÅÒ 6. òÁÚÌÏÖÉÔØ × ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ ÆÕÎËÃÉÀ f (x) = ln(1 + x + x2 ) ×
ÔÏÞËÅ x0 = 0.
    òÅÛÅÎÉÅ: ðÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ ÄÁÎÎÕÀ ÆÕÎËÃÉÀ × ×ÉÄÅ
                             1 + x3
               ln(1 − x + x2) = ln  = ln(1 + x3 ) − ln(1 + x).
                              1+x
ôÅÐÅÒØ ÒÁÚÌÏÖÉÍ × ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ ËÁÖÄÕÀ ÉÚ ÆÕÎËÃÉÊ ln(1 + x3) É ln(1 + x).
                         x6      9                      3n
     ln(1 + x3) = x3 −    2
                             + x3 − . . . + (−1)n−1 xn + . . . ,    |x3| < 1, |x| < 1,
                        x2    x3                 n−1 xn
     ln(1 + x) = x −    2   + 3   − . . . + (−1)     n + ...,      |x| < 1.
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,
    ln(1 − x + x2) =
               x2                4     5
                                                         x7
                                                
                       1    3  x     x       1   1    6
        = x−      + 1+     x −     +     −     +     x +    − ...,             |x| < 1.
               2       3       4     5       2 6         7
   äÌÑ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÆÕÎËÃÉÉ f (x) × ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ Ó ÃÅÎÔÒÏÍ × ÔÏÞËÅ x 0 6= 0
ÞÁÓÔÏ ÐÒÉÍÅÎÑÅÔÓÑ ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ÍÅÔÏÄ: ××ÏÄÉÔÓÑ ÎÏ×ÁÑ ÐÅÒÅÍÅÎÎÁÑ t = x − x 0
É ÉÝÅÔÓÑ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ f ∗(t) = f (t + x0) × ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ ÐÏ ÓÔÅÐÅÎÑÍ
t (Ó ÃÅÎÔÒÏÍ × ÔÏÞËÅ t0 = 0)
                                 ∞
                                 X
                          ∗
                         f (t) =   an tn , |t| < R,
                                        n=0
ÏÔËÕÄÁ ÐÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ
                               ∞
                               X
                     f (x) =         an (x − x0)n,   |x − x0| < R.
                               n=0

Страницы