Ряды. - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

34 §5. òÑÄÙ ôÅÊÌÏÒÁ. òÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ × ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ
§5. òÑÄÙ ôÅÊÌÏÒÁ. òÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ × ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ
ÒÑÄ
5.1. òÑÄÙ ôÅÊÌÏÒÁ
òÑÄ ×ÉÄÁ
∞
X
n=0
a
n
(x − x
0
)
n
=
∞
X
n=0
f
n
(x
0
)
n!
(x − x
0
)
n
, a
n
=
f
n
(x
0
)
n!
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÑÄÏÍ ôÅÊÌÏÒÁ ÆÕÎËÃÉÉ f (x) × ÔÏÞËÅ x
0
.
úÁÍÅÞÁÎÉÅ. ëÁË ÕÖÅ ÇÏ×ÏÒÉÌÏÓØ (ÓÍ. §4), ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ
∞
X
n=0
f
n
(x
0
)
n!
(x − x
0
)
n
,
ÒÁÄÉÕÓÏÍ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ËÏÔÏÒÏÇÏ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ R, × ÉÎÔÅÒ-
×ÁÌÅ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ (x
0
− R; x
0
+ R) ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔ ÆÕÎËÃÉÀ
S(x) =
∞
X
n=0
f
n
(x
0
)
n!
(x − x
0
)
n
.
æÕÎËÃÉÉ f(x) É S(x) ÎÅÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÓÏ×ÐÁÄÁÀÔ ÎÁ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ (x
0
−R; x
0
+R).
ðÒÉÍÅÒ 1. ÷ÙÞÉÓÌÉ× ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÈ f
(n)
(x
0
), ÎÁÐÉÓÁÔØ 3 ÏÔÌÉÞ-
ÎÙÈ ÏÔ ÎÕÌÑ ÞÌÅÎÁ ÒÑÄÁ ôÅÊÌÏÒÁ ÆÕÎËÃÉÉ f (x) × ÔÏÞËÅ x
0
.
f(x) = 2
√
x
, x
0
= 4, n = 3.
òÅÛÅÎÉÅ:
f(4) = 4,
f
0
(4) =
ln 2
2
x
−
1
2
2
√
x
x=4
= ln 2,
f
00
(4) =
ln 2
4
·
2
√
x
x
ln 2 − x
−
1
2
x=4
=
ln 2
4
ln 2 −
1
2
.
ðÏÌÕÞÁÅÍ ÏËÏÎÞÁÔÅÌØÎÙÊ ÏÔ×ÅÔ:
4 + ln 2 · (x − 4) +
ln 2
16
· (2 ln 2 − 1) · (x − 4)
2
+ . . .
5.2. òÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ × ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ
÷ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÐÏÞÌÅÎÎÏÇÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÏ×ÁÎÉÑ É ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÓÔÅÐÅÎÎÏ-
ÇÏ ÒÑÄÁ ×ÎÕÔÒÉ ÅÇÏ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÁ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ (ÓÍ. ÐÕÎËÔ 4.3), Á ÔÁËÖÅ ÏÔÎÏÓÉ-
ÔÅÌØÎÁÑ ÐÒÏÓÔÏÔÁ ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ ÄÅÌÁÀÔ ÓÔÅÐÅÎÎÙÅ ÒÑÄÙ ÎÅÚÁÍÅÎÉÍÙ-
ÍÉ ËÁË × ÔÅÏÒÅÔÉÞÅÓËÉÈ, ÔÁË É × ÐÒÁËÔÉÞÅÓËÉÈ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑÈ. åÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ
34                   §5. òÑÄÙ ôÅÊÌÏÒÁ. òÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ × ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ

     §5. òÑÄÙ ôÅÊÌÏÒÁ. òÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ × ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ
      ÒÑÄ
5.1. òÑÄÙ ôÅÊÌÏÒÁ

òÑÄ ×ÉÄÁ
             ∞                       ∞
             X
                              n
                                     X f n (x0)                                 f n(x0)
                    an (x − x0 ) =                      (x − x0)n ,      an =
              n=0                    n=0
                                                   n!                              n!
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÑÄÏÍ ôÅÊÌÏÒÁ ÆÕÎËÃÉÉ f (x) × ÔÏÞËÅ x0.
   úÁÍÅÞÁÎÉÅ. ëÁË ÕÖÅ ÇÏ×ÏÒÉÌÏÓØ (ÓÍ. §4), ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ
                          ∞
                         X   f n (x0)
                                      (x − x0)n ,
                         n=0
                                n!
ÒÁÄÉÕÓÏÍ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ËÏÔÏÒÏÇÏ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ R, × ÉÎÔÅÒ-
×ÁÌÅ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ (x0 − R; x0 + R) ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔ ÆÕÎËÃÉÀ
                                ∞
                               X   f n (x0)
                       S(x) =               (x − x0)n .
                               n=0
                                      n!
æÕÎËÃÉÉ f (x) É S(x) ÎÅÏÂÑÚÁÔÅÌØÎÏ ÓÏ×ÐÁÄÁÀÔ ÎÁ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ (x 0 −R; x0 +R).
  ðÒÉÍÅÒ 1. ÷ÙÞÉÓÌÉ× ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÈ f (n) (x0), ÎÁÐÉÓÁÔØ 3 ÏÔÌÉÞ-
ÎÙÈ ÏÔ ÎÕÌÑ ÞÌÅÎÁ ÒÑÄÁ ôÅÊÌÏÒÁ ÆÕÎËÃÉÉ f (x) × ÔÏÞËÅ x0 .
                                       √
                                           x
                           f (x) = 2           ,    x0 = 4,    n = 3.
     òÅÛÅÎÉÅ:
            f (4)      = 4,
                                       √
                           ln 2 − 12
              f 0 (4) =     2  x     2  x
                                          = ln 2,
                                  √  x=4        
                           ln 2 2 x         − 21                      ln 2            1
              f 00(4) =
                                                                                          
                            4
                               · x ln 2 − x                     =      4
                                                                             ln 2 −   2
                                                                                              .
                                                   x=4
ðÏÌÕÞÁÅÍ ÏËÏÎÞÁÔÅÌØÎÙÊ ÏÔ×ÅÔ:
                                 ln 2
            4 + ln 2 · (x − 4) +      · (2 ln 2 − 1) · (x − 4)2 + . . .
                                  16

5.2. òÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ × ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ

÷ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÐÏÞÌÅÎÎÏÇÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÏ×ÁÎÉÑ É ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÓÔÅÐÅÎÎÏ-
ÇÏ ÒÑÄÁ ×ÎÕÔÒÉ ÅÇÏ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÁ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ (ÓÍ. ÐÕÎËÔ 4.3), Á ÔÁËÖÅ ÏÔÎÏÓÉ-
ÔÅÌØÎÁÑ ÐÒÏÓÔÏÔÁ ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ ÄÅÌÁÀÔ ÓÔÅÐÅÎÎÙÅ ÒÑÄÙ ÎÅÚÁÍÅÎÉÍÙ-
ÍÉ ËÁË × ÔÅÏÒÅÔÉÞÅÓËÉÈ, ÔÁË É × ÐÒÁËÔÉÞÅÓËÉÈ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÑÈ. åÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ

Страницы