Составители:
Рубрика:
Глава 4. Проверка статистических гипотез
серединой интервала ex
i
=
y
i
+y
i−1
2
, в который это наблюдение
попало. Таким образом мы сведем непрерывное распределение
к дискретному.
С.в. ν
i
имеет биномиальное распределение с параметром p
i
(если, конечно, верна нулевая гипотеза). Тогда согласно ЦПТ
при выполнении гипотезы H
0
статистика
Z
i
=
ν
i
− np
i
p
np
i
(1 − p
i
)
асимптотически нормальна, Z
i
→ N(0, 1), поэтому следует
ожидать, что статистика
X
2
=
X
1≤i≤k
Z
2
i
=
X
1≤i≤k
(ν
i
− np
i
)
2
np
i
(1 − p
i
)
(17.1)
имеет в пределе χ
2
- распределение с k −1 степенями свободы
(число степеней свободы на единицу меньше числа слагаемых
из-за наличия дополнительной связи, ν
1
+ ··· + ν
k
= n). Дей-
ствительно, имеет место утверждение
Теорема 17.1. Пусть гипотеза H
0
верна и вероятности
p
i
> c > 0 (i = 1, k) не зависят от выборки x. Тогда рас-
пределение статистики X
2
(17.1) сходится при n → ∞ к
χ
2
k−1
- распределению с k −1 степенями свободы.
Замечание 1. Интуитивные соображения по поводу указан-
ной сходимости были даны выше. Строгое доказательство опус-
каем, его можно найти, например, в [13], [18].
Замечание 2. Отметим, что на практике вместо статистики,
приведенной в формуле (17.1) используется статистика
X
2
=
X
1≤i≤k
(ν
i
− np
i
)
2
np
i
,
143
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 141
- 142
- 143
- 144
- 145
- …
- следующая ›
- последняя »
