Составители:
Рубрика:
§ 17 Критерии согласия и независимости
правдоподобия
ˆ
~
θ, вычисленная по сгруппированной выборке
(см. [24]). При группировке каждое наблюдение x
i
заменя-
ется серединой интервала ex
i
=
y
i
+y
i−1
2
, в который это на-
блюдение попало, а непрерывное гипотетическое распределе-
ние с ф.р. F (x;
~
θ) заменяется дискретным с вероятностями
p
i
(
~
θ) = F (y
i
;
~
θ) − F (y
i−1
;
~
θ), также зависящим от параметра.
ОМП
ˆ
~
θ получается путем минимизации ф.п. сгруппированной
выборки, L(
~
θ;
e
x) → min, где
L(
~
θ;
e
x) =
Y
1≤i≤k
p
ν
i
i
(
~
θ).
Как обычно, будем искать минимум логарифма ф.п.,
ln L(
~
θ;
e
x) =
X
1≤i≤k
ν
i
ln p
i
(
~
θ) → min,
т.е. решим систему уравнений
∂L(
~
θ;
e
x)
∂θ
j
=
X
1≤i≤k
ν
i
p
i
(
~
θ)
∂p
i
(
~
θ)
∂θ
j
= 0, j = 1, r. (17.3)
Тогда, если гипотеза H
0
верна, статистика X
2
асимптотически
имеет χ
2
k−1−r
-распределение, где r – размерность параметра
~
θ = (θ
1
, ..., θ
r
). Более строго этот факт сформулирован в тео-
реме Фишера-Крамера.
Теорема 17.2 (Фишер-Крамер). Пусть выполнены следующие
условия:
1) Вероятности p
i
зависят от векторного параметра
~
θ ∈ Θ ⊂ R
r
, p
i
= p
i
(
~
θ), причем p
i
(
~
θ) > c > 0 (i = 1, k).
2) Функция p(
~
θ) дважды дифференцируема.
3) Информационная матрица Фишера, относящаяся к од-
ному наблюдению ex
i
сгруппированной выборки, – невырожден-
ная, det J(
~
θ) 6= 0, где
146
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 144
- 145
- 146
- 147
- 148
- …
- следующая ›
- последняя »
