Математическая статистика и планирование эксперимента. Рыков В.В - 178 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГУНиГ им. Губкина | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§ 18 Понятие о статистической зависимости
Рассмотрим п.р. вектора Y, предполагая, что m = n и
det A 6= 0,
p
Y
(y)
Y
1≤i≤n
dy
i
= P{y ≤ Y < y + dy} =
= P{y ≤ AX + b < y + dy} =
= P{y − b ≤ AX < y − b + dy} =
= P{A
−1
(y − b) ≤ X < A
−1
(y − b) + dA
−1
y} =
= p
X
(A
−1
(y − b)) det A
−1
Y
1≤i≤n
dy
i
,
поскольку при линейном преобразовании координат элемент
объема умножается на определитель матрицы преобразования.
Из этих соотношений следует, что
p
Y
(y) = det A
−1
p
X
(A
−1
(y − b)) =
=
1
p
(2π)
n
det A
exp
½
−
1
2
(y − b)
0
A
−10
A
−1
(y − b)
¾
.
Чтобы привести последнее выражение к естественным пара-
метрам распределения вектора Y, заметим, что AA
0
= C, где
C = C
Y
является ковариационной матрицей вектора Y. Если
det A 6= 0, то det C = det A · det A
0
= (det A)
2
и, стало быть,
C
−1
= (AA
0
)
−1
= A
0−1
A
−1
, откуда
p
Y
(y) =
1
p
(2π)
n
det C
exp
½
−
1
2
(y − b)
0
C
−1
(y − b)
¾
. (18.14)
Таким образом, линейное преобразование Y = AX + b
с невырожденной матрицей A над стандартным нормальным
вектором X ∈ N(0, I) приводит к случайному вектору с плот-
ностью (18.14), где b – произвольный вектор, а C – невырож-
денная симметричная неотрицательно определенная матрица.
178

Страницы