Составители:
Рубрика:
Глава 2. Точечные оценки параметров
Однако не всякая статистика является разумной оценкой.
Рассмотрим требования, которые следует предъявлять к ста-
тистикам, чтобы их можно было рассматривать в качестве “ра-
зумных” оценок неизвестных параметров.
Состоятельность
Для того, чтобы статистику
ˆ
θ
n
= T(x
1
, . . . , x
n
) можно бы-
ло рассматривать в качестве оценки параметра θ необходимо,
чтобы оценка приближалась к оцениваемому параметру при
увеличении размера выборки. Такие оценки выделяются с по-
мощью следующего определения.
Определение 4.2. Оценка называется состоятельной, ес-
ли она сходится по вероятности к оцениваемому параметру,
plim
n→∞
ˆ
θ
n
= θ, т.е.
P{|
ˆ
θ
n
− θ| < ε} → 1 для любых ε > 0 и θ ∈ Θ при n → ∞.
Примеры
1. h
n
– состоятельная оценка p (см. п. 4.1);
2. ¯x – состоятельная оценка µ.
Действительно, согласно неравенству Чебышева,
P{|¯x − µ| ≥ ε} ≤
D¯x
ε
2
.
Отсюда, учитывая то, что D¯x = σ
2
/n (см. упражнение 1), име-
ем
lim
n→∞
P{|¯x−µ| < ε} = 1− lim
n→∞
P{|¯x−µ| ≥ ε} ≤ 1− lim
n→∞
σ
2
nε
2
→ 1.
45
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 43
- 44
- 45
- 46
- 47
- …
- следующая ›
- последняя »
