Составители:
Рубрика:
§ 5 Неравенство Рао-Крамера и эффективные оценки
§ 5 Неравенство Рао-Крамера и эффективные
оценки
5.1 Эффективные оценки
Остановимся сначала на некоторых свойствах эффектив-
ных оценок в предположении, что они существуют. Исследова-
ние этих свойств поможет в дальнейшем находить такие оцен-
ки.
Введем гильбертово пространство L
2
(X, P) с.в. X с систе-
мой норм
||X||
P
= D
P
X =
Z
(x − M
P
X)
2
dF
P
(x),
где F
P
(x) – ф.р. с.в. X, а M
P
и D
P
– ее математическое ожи-
дание и дисперсия, отвечающие мере P.
Статистики T(x) от выборки x = (x
1
, . . . , x
n
) объема n бу-
дут рассматриваться как элементы прямого произведения этих
гильбертовых пространств L
2
(X
n
, P
n
).
Докажем теперь единственность эффективной оценки в том
смысле, что если существуют две таких оценки, то они сов-
падают с вероятностью 1. Рассмотрим общий случай оценки
некоторой функции τ(θ) от неизвестного параметра θ.
Теорема 5.1. Пусть T
1
(x) и T
2
(x) – две эффективные оценки
для τ(θ). Тогда P{T
1
(x) = T
2
(x)} = 1.
Доказательство. Рассмотрим наряду с оценками T
1
(x) и
T
2
(x) оценку
T (x) =
1
2
(T
1
(x) + T
2
(x)),
которая также является несмещенной оценкой τ (θ), так как
M
θ
T (x) =
1
2
(M
θ
T
1
(x) + M
θ
T
2
(x)) =
1
2
(τ(θ) + τ(θ)) = τ(θ).
54
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 52
- 53
- 54
- 55
- 56
- …
- следующая ›
- последняя »
