Составители:
Рубрика:
Глава 2. Точечные оценки параметров
Вычислим дисперсию этой оценки
D
θ
T (x) =
1
4
(D
θ
T
1
(x) + D
θ
T
2
(x) + 2 cov
θ
(T
1
(x), T
2
(x))) (5.1)
По неравенству Коши-Буняковского в L
2
(X
n
, P
n
) имеем
|cov
θ
(T
1
(x), T
2
(x))| =
¯
¯
¯
R
(T
1
(x) − τ) · (T
2
(x) − τ)p(x; θ) dx
¯
¯
¯
≤
≤
q
R
(T
1
(x) − τ)
2
p(x; θ) dx ·
q
R
(T
2
(x) − τ)
2
p(x; θ) dx =
=
p
DT
1
(x) ·
p
DT
2
(x). (5.2)
При этом равенство в этом неравенстве достигается тогда
и только тогда, когда векторы T
1
(x) и T
2
(x) коллинеарны в
рассматриваемом пространстве, т.е. когда
T
2
(x) − τ = k(θ)(T
1
(x) − τ) с вероятностью 1.
Подставляя (5.2) в (5.1) получим
D
θ
T (x) ≤
1
4
(D
θ
T
1
(x)+D
θ
T
2
(x)+2
p
D
θ
T
1
(x) · D
θ
T
2
(x)). (5.3)
Так как T
1
(x) и T
2
(x) – оценки с минимальной дисперсией, то
обозначая
V (θ) = D
θ
T
1
(x) = D
θ
T
2
(x),
из (5.3) найдем
D
θ
T (x) ≤
1
4
(2V (θ) + 2V (θ)) = V (θ), (5.4)
откуда следует, что в неравенстве (5.4), а вместе с ним
и в (5.2) достигается равенство (в противном случае
D
θ
T (x) < V (θ), что противоречит предположению о мини-
мальности дисперсии V (θ) оценок T
1
(x) и T
2
(x)). Таким обра-
зом, T
2
(x) − τ = k(θ)(T
1
(x) − τ), и cov
θ
(T
1
(x), T
2
(x)) = V (θ).
55
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 53
- 54
- 55
- 56
- 57
- …
- следующая ›
- последняя »
