Составители:
Рубрика:
Глава 2. Точечные оценки параметров
2) p(x; θ) дифференцируема по параметру θ и
¯
¯
¯
∂ ln p(x;θ)
∂θ
¯
¯
¯
< ∞;
3) оцениваемая функция τ(θ) дифференцируема по θ.
Теорема 5.2 (Неравенство Рао-Крамера). При выполнении
условий (1-3) для любой несмещенной оценки T(x) функции
τ(θ) имеет место неравенство
D
θ
T (x) ≥
[τ
0
(θ)]
2
M
θ
h
∂ ln p(x; θ)
∂θ
i
2
=
[τ
0
(θ)]
2
I
n
(θ)
. (5.5)
Напомним, что величина I
n
(θ) = M
θ
h
∂ ln p(x; θ)
∂θ
i
2
называет-
ся информацией о параметре θ, содержащейся в выборке x.
Чаще всего нас интересует сама оценка, т.е. τ(θ) = θ. В этом
случае неравенство Рао-Крамера принимает вид
D
θ
ˆ
θ(x) ≥
1
I
n
(θ)
,
т.е. дисперсия оценки параметра не может быть меньше вели-
чины, обратной количеству информации об этом параметре.
Доказательство. Дифференцируя равенства
Z
p(x; θ) dx = 1,
M
θ
T (x) =
Z
T (x)p(x; θ) dx = τ(θ)
по параметру θ под знаком интеграла, что возможно в силу
предположения (1) и т.к. частная производная
∂ ln p(x;θ)
∂θ
огра-
ничена, получим
Z
∂p(x; θ)
∂θ
dx =
Z
∂ ln p(x; θ)
∂θ
p(x; θ) dx = 0, (5.6)
Z
T (x)
∂ ln p(x; θ )
∂θ
p(x; θ) dx = τ
0
(θ). (5.7)
57
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 55
- 56
- 57
- 58
- 59
- …
- следующая ›
- последняя »
