Составители:
Рубрика:
§ 5 Неравенство Рао-Крамера и эффективные оценки
Вычитая из равенства (5.7) равенство (5.6), умноженное на
τ(θ), найдем
τ
0
(θ) =
Z
[T (x) − τ(θ)]
∂ ln p(x; θ)
∂θ
p(x; θ) dx. (5.8)
Далее, из неравенства Коши-Буняковского в L
2
(X
n
, P
n
) следу-
ет, что
[τ
0
(θ)]
2
≤
·
Z
(T (x) − τ(θ))
2
p(x; θ) dx
¸
×
×
"
Z
µ
∂ ln p(x; θ)
∂θ
¶
2
p(x; θ) dx
#
=
= D
θ
T (x) · M
θ
·
∂ ln p(x; θ)
∂θ
¸
2
,
откуда следует соотношение (5.5).
5.3 Достаточное условие эффективности оценок
Неравенство Рао-Крамера дает нижнюю границу для дис-
персии оценки, следовательно, если при этом достигается ра-
венство, дисперсия оценки оказывается минимальной, а сама
оценка – эффективна.
Теорема 5.3. Знак равенства в неравенстве (5.5) достигает-
ся тогда и только тогда, когда
∂ ln p(x; θ)
∂θ
= k(θ) (T (x) − τ(θ)) , (5.9)
где коэффициент k(θ ) = ∓
¯
¯
¯
I
n
(θ)
τ
0
(θ)
¯
¯
¯
не зависит от выборки x.
58
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 56
- 57
- 58
- 59
- 60
- …
- следующая ›
- последняя »
