Составители:
Рубрика:
Глава 2. Точечные оценки параметров
Доказательство. Равенство в (5.5) достигается тогда и толь-
ко тогда, когда с.в.
∂ ln p(x;θ)
∂θ
и T (x) − τ(θ), рассматриваемые
как элементы пространства L
2
(X
n
, P
n
), коллинеарны, т.е.
∂ ln p(x; θ)
∂θ
= k(θ) (T (x) − τ(θ)) .
Найдем отсюда статистику T (x) и вычислим ее дисперсию.
T (x) = τ(θ) +
1
k(θ)
∂ ln p(x; θ)
∂θ
, (5.10)
D
θ
T (x) = M
θ
(T (x) − τ(θ))
2
=
=
1
k
2
(θ)
M
θ
·
∂ ln p(x; θ)
∂θ
¸
2
=
I(θ)
k
2
(θ)
. (5.11)
Подставив полученное выражение в (5.5), найдем коэффициент
k(θ) = ∓
¯
¯
¯
¯
I(θ)
τ
0
(θ)
¯
¯
¯
¯
.
Таким образом, (5.9) дает нам достаточное условие эффек-
тивности оценки.
Пример 5.1. Рассмотрим оценку неизвестного математиче-
ского ожидания нормально распределенной с.в., т.е. статисти-
ческую модель (R, N(θ, σ
2
)). В этом случае
p(x; θ) =
µ
1
√
2πσ
¶
n
exp
−
1
2σ
2
X
1≤i≤n
(x
i
− θ)
2
и
∂ ln p(x; θ)
∂θ
=
1
σ
2
X
1≤i≤n
(x
i
− θ) =
n
σ
2
(¯x − θ).
Таким образом, для τ(θ) = θ статистика ¯x является эффектив-
ной оценкой параметра θ, т.к. имеет место представление (5.9).
59
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 57
- 58
- 59
- 60
- 61
- …
- следующая ›
- последняя »
