Составители:
Рубрика:
Глава 2. Точечные оценки параметров
В качестве упражнения предлагается проверить, что функции
P
1≤i≤n
x
i
и
P
1≤i≤n
x
2
i
являются достаточными статистиками.
Чтобы решить ту или иную статистическую задачу до-
статочно помнить лишь значения достаточных статистик или
некоторых функций от них (а не всю выборку). Такое решение
окажется ничуть не хуже, чем решение, использующее всю вы-
борку.
6.2 Необходимое и достаточное условие достаточ-
ности статистики
Теорема 6.1 (Неймана-Фишера). Для того чтобы стати-
стика T (x) была достаточной для семейства распределений
P = {P
θ
} (параметра θ) необходимо и достаточно, чтобы
было выполнено условие
p(x; θ) = g(T (x); θ) · h(x), (6.2)
где p(x; θ) – распределение (если с.в. X дискретна) или плот-
ность распределения (если с.в. X непрерывна), отвечающее се-
мейству мер P = {P
θ
}.
Доказательство проведем для случая дискретной статисти-
ческой модели (X – дискретное множество).
Достаточность. Обозначим наблюдения до эксперимента,
рассматриваемые как с.в., через X, а их числовые реализации
через x. Пусть имеет место (6.2). Рассмотрим
P
θ
{X = x|T (X) = t} =
P
θ
{X = x, T (X) = t}
P
θ
{T (X) = t}
=
=
g(t; θ) · h(x)
g(t; θ) ·
P
x:T (x)=t
h(x)
= f(x, t),
откуда следует достаточность условия.
63
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 61
- 62
- 63
- 64
- 65
- …
- следующая ›
- последняя »
