Составители:
Рубрика:
Глава 2. Точечные оценки параметров
F
1
(y; θ) = P
θ
{T
1
(X) ≤ y} – ф.р. с.в. T
1
(X), тогда
τ(θ) = M
θ
T
2
(X) =
Z
M
θ
[T
2
(X)|T
1
(X) = y] dF
1
(y; θ) =
=
Z
f(y)dF
1
(y; θ) = M
θ
f(T
1
(X)),
т.е. f(T
1
(x)) – несмещенная оценка для τ(θ).
По неравенству Иенсена для любой выпуклой функции φ(x)
Mφ(X) ≥ φ(MX) (см. упражнение 5). Функция φ(x) = (x−a)
2
выпукла вниз, поэтому имеем
M
θ
£
(T
2
(X) −τ(θ))
2
|T
1
(X) = y
¤
≥
≥ [M
θ
(T
2
(X)|T
1
(X) = y) −τ(θ)]
2
= (f(y) −τ(θ))
2
.
Откуда
D
θ
T
2
(X) = M
θ
£
(T
2
(X) − τ(θ))
2
¤
=
=
Z
M
θ
[T
2
(X) − τ(θ)|T
1
(X) = y]
2
dF
1
(y; θ) ≥
≥
Z
[f(y) − τ(θ)]
2
dF
1
(y; θ) = D
θ
f(T
1
(X)).
Но т.к. T
2
(x) эффективна для τ (θ), и, стало быть, единственна
(теорема 5.1), то D
θ
f(T
1
(X)) = D
θ
T
2
(X) и T
2
(X) = f(T
1
(X))
с вероятностью 1.
6.4 Дополнения
Вопросы для контроля
1. Дайте определение достаточной статистики.
2. Сформулируйте необходимое и достаточное условие доста-
точности статистики.
3. Сформулируйте теорему Блекуэлла-Колмогорова.
65
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 63
- 64
- 65
- 66
- 67
- …
- следующая ›
- последняя »
