Составители:
Рубрика:
§ 6 Достаточные статистики
Упражнения
1. Пусть x = (x
1
, . . . , x
n
) ПСВ из генеральной совокупности с
нормальным распределением N (θ, 1). Покажите, что статисти-
ка T (x) = ¯x =
1
n
P
1≤i≤n
x
i
достаточна для θ.
2. Пусть x = (x
1
, . . . , x
n
) ПСВ из генеральной совокупности
с нормальным распределением N(θ
1
, θ
2
). Покажите, что век-
торная статистика T = (T
1
, T
2
), где T
1
(x) = ¯x =
1
n
P
1≤i≤n
x
i
и
T
2
(x) = S
2
=
1
n−1
P
1≤i≤n
(x
i
− ¯x)
2
, достаточна для вектор-
ного параметра
~
θ = (θ
1
, θ
2
).
3. Достаточная статистика называется полной, если для лю-
бой измеримой функции f (x) из M
θ
f(T(x)) = 0 следует, что
f(x) = 0 с вероятностью 1. Покажите, что любая функция от
полной достаточной статистики является эффективной оцен-
кой для своего м.о.
Указание: пусть T (x) – полная достаточная статистика,
t = f(T (x)), M
θ
t = τ . Рассмотрите
D
θ
t(x) = M
θ
(t − τ)
2
= M
θ
t
2
− 2τM
θ
t + τ
2
= M
θ
t
2
− τ
2
.
4. Пусть x = (x
1
, . . . , x
n
) ПСВ из генеральной совокупности
с равномерным на [0, θ] распределением. Покажите, что стати-
стика T (x) = max
1≤i≤n
x
i
достаточна для θ.
5. Для выпуклой вниз функции φ(x) и с.в. X таких, что
Mφ(X) < ∞ докажите неравенство Иенсена:
Mφ(X) ≥ φ(MX)
Указание. Для двузначной с.в. X, распределение которой зада-
ется соотношениями P{X = a} = p, P{X = b} = 1 − p, это
неравенство совпадает с определение выпуклой функции. Для
дискретных с.в. может быть получено индукцией. Для непре-
рывных – с помощью представления измеримых функций как
предела ступенчатых.
66
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 64
- 65
- 66
- 67
- 68
- …
- следующая ›
- последняя »
