Составители:
Рубрика:
§ 7 Метод максимального правдоподобия
Определение 7.1. Совместное распределение (плотность рас-
пределения) p(x;
~
θ) выборки x = (x
1
, . . . , x
n
), рассматриваемое
как функция неизвестного параметра
~
θ = (θ
1
, . . . , θ
k
), называ-
ется функцией правдоподобия (ф.п.).
Чтобы подчеркнуть, что функция правдоподобия рассмат-
ривается как функция параметра, будем обозначать ее другой
буквой: L = L(
~
θ; x) = p(x;
~
θ).
Определение 7.2. Оценка
ˆ
~
θ = (
ˆ
θ
1
, . . . ,
ˆ
θ
k
), на которой функ-
ция правдоподобия достигает своего абсолютного максимума,
называется оценкой максимального правдоподобия (ОМП).
Другими словами, ОМП определяется из условия
L(
ˆ
~
θ(x); x) = sup
~
θ∈Θ
L(
~
θ; x), (7.1)
или
L(
ˆ
~
θ(x); x) ≥ L(
~
θ; x) для всех
~
θ ∈ Θ и x ∈ X
n
. (7.2)
В случае, когда θ ∈ Θ ⊂ R, а ф.п. дважды непрерывно
дифференцируема, ОМП определяется условиями
(a)
∂L(θ; x)
∂θ
= 0, (b)
∂
2
L(θ; x)
(∂θ)
2
< 0. (7.3)
Первое из этих условий выделяет все внутренние стационарные
точки, второе является достаточным условием максимума. В
дальнейшем мы будем рассматривать именно одномерный па-
раметр θ ∈ Θ ⊂ R, а при необходимости обобщать полученные
результаты на многомерный случай.
Замечание. Как будет видно в дальнейшем, и в теоретиче-
ских построениях, и для практических нужд, целесообразнее
68
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 66
- 67
- 68
- 69
- 70
- …
- следующая ›
- последняя »
