Составители:
Рубрика:
§ 7 Метод максимального правдоподобия
Доказательство. В этом случае, как следует из (6.2), ф.п.
представима в виде
L(θ; x) = g(T (x); θ) · h(x)
и, стало быть, уравнение правдоподобия
∂ ln L
∂θ
=
∂ ln g(T (x); θ)
∂θ
= 0
приводит к оценке
ˆ
θ = f(T (x)).
Рассмотрим другие существенные свойства ОМП.
7.4 Состоятельность ОМП
Теорема 7.1. Если ф.п. L(θ; x) является взаимно однознач-
ной функцией в окрестности θ = θ
0
, то ОМП
ˆ
θ(x) состоя-
тельна.
Доказательство. Приведем, следуя [14], с.64 (см. также [18],
с.544), эвристические рассуждения, показывающие состоятель-
ность ОМП. По определению ОМП для любых θ ∈ Θ, в том
числе для θ = θ
0
, где θ
0
– истинное (хотя и неизвестное) значе-
ние параметра θ, имеем
L(θ; x) ≤ L(
ˆ
θ(x); x). (7.6)
В силу неравенства Иенсена для с.в. η =
L(θ; x)
L(θ
0
; x)
имеем для
θ 6= θ
0
M
θ
0
ln η ≤ ln M
θ
0
η = 0, (7.7)
так как
M
θ
0
η = M
θ
0
L(θ; x)
L(θ
0
; x)
=
Z
p(x; θ)
p(x; θ
0
)
· p(x; θ
0
) dx = 1.
70
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 68
- 69
- 70
- 71
- 72
- …
- следующая ›
- последняя »
