Составители:
Рубрика:
§ 7 Метод максимального правдоподобия
Таким образом, получим
1
n
ln L(θ
0
; x) ≤
1
n
ln L(
ˆ
θ(x); x) ≤
1
n
ln L(θ
0
; x) + o(1),
Следовательно, при n → ∞
1
n
ln L(
ˆ
θ(x); x) →
1
n
ln L(θ
0
; x) по вероятности. (7.10)
Откуда в предположении, что L(θ; x) – взаимно однозначная
функция в окрестности θ = θ
0
, следует что
ˆ
θ(x) → θ
0
по веро-
ятности, т.е. оценка состоятельна.
7.5 Асимптотические эффективность и нормаль-
ность ОМП
Покажем, следуя [14], с.67-70 (см. также [18], с.544-549), что
при выполнении некоторых условий регулярности ОМП асимп-
тотически нормальна и эффективна.
Теорема 7.2. Пусть θ
0
– истинное значение параметра θ и
ф.п. L(θ; x) дважды дифференцируема по θ в окрестности U
θ
0
.
Пусть также
(a) M
θ
∂ ln p(X;θ)
∂θ
¯
¯
¯
θ=θ
0
= 0,
(b) i(θ) = −M
θ
∂
2
ln p(X;θ)
(∂θ)
2
= M
θ
h
∂ ln p(X;θ)
∂θ
i
2
6= 0 для θ ∈ U
θ
0
.
Тогда ОМП
ˆ
θ
n
асимптотически нормальна с параметрами
M
ˆ
θ
n
= θ
0
и D
ˆ
θ
n
=
1
n i(θ
0
)
.
Замечание 1. Условие (a) означает, что множество значений
x, для которых p(x; θ) 6= 0 не зависит от θ, (см. также условие 1
в теореме 5.2 (неравенство Рао-Крамера)).
72
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 70
- 71
- 72
- 73
- 74
- …
- следующая ›
- последняя »
