Составители:
Рубрика:
Глава 2. Точечные оценки параметров
Замечание 2. Напомним, что величина i(θ) называется ко-
личеством информации о параметре θ, содержащемся в одном
наблюдении (см. § 4.3). Таким образом, дисперсия ОМП пара-
метра θ обратно пропорциональна количеству информации об
этом параметре.
Доказательство. Раскладывая производную по θ от лога-
рифма ф.п. в точке
ˆ
θ
n
по формуле Тейлора в окрестности U
θ
0
,
имеем
∂ ln L
∂θ
¯
¯
¯
ˆ
θ
n
=
∂ ln L
∂θ
¯
¯
¯
θ
0
+ (
ˆ
θ
n
− θ
0
)
∂
2
ln L
(∂θ)
2
¯
¯
¯
θ
∗
,
где θ
∗
заключено между θ
0
и
ˆ
θ
n
. Откуда, учитывая, что
ˆ
θ
n
–
ОМП, т.е.
∂ ln L
∂θ
¯
¯
¯
ˆ
θ
n
= 0, найдем
(
ˆ
θ
n
− θ
0
)
p
n i(θ
0
) =
∂ ln L
∂θ
¯
¯
¯
θ
0
.
p
n i(θ
0
)
−
∂
2
ln L
(∂θ)
2
¯
¯
¯
θ
∗
.
(n i(θ
0
))
. (7.11)
Очевидно, что −
∂
2
ln L
(∂θ)
2
¯
¯
¯
θ
0
– сумма н.о.р. с.в. с м.о. n i(θ
0
).
В силу состоятельности оценки
ˆ
θ
n
(см. предыдущий раздел),
а также т.к. θ
∗
заключено между θ
0
и
ˆ
θ, знаменатель правой
части равенства (7.11) по УЗБЧ сходится к 1 с вероятностью 1.
Далее, т.к.
µ
∂ ln L
∂θ
¶
¯
¯
¯
θ
0
=
X
1≤i≤n
∂ ln p(x
i
; θ)
∂θ
¯
¯
¯
θ
0
является суммой n н.о.р. с.в., каждая из которых имеет нулевое
м.о. (предположение (а)) и дисперсию, равную по предположе-
73
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 71
- 72
- 73
- 74
- 75
- …
- следующая ›
- последняя »
