Составители:
Рубрика:
§ 6 Достаточные статистики
Необходимость. Обозначая t = T (x) и имея в виду, что
{X = x} ⊂ {T (X) = T (x) = t}, в соответствии с (6.1) найдем
p(x; θ) = P
θ
{X = x} = P
θ
{X = x, T (X) = t} =
= P
θ
{X = x|T (X) = t} ·P
θ
{T (X) = t},
т.е. выполняется соотношение (6.2), где P
θ
{T (X) = t} = g(t; θ),
а первый сомножитель в силу (6.1) не зависит от θ.
Замечание. В случае абсолютно непрерывного распределе-
ния с плотностью p(x; θ) доказательство теоремы аналогично
и лишь сопровождается некоторыми техническими сложностя-
ми.
Следствие. Если для оценки T (x) в неравенстве Рао-Крамера
имеет место строгое равенство, то эта оценка достаточна.
Доказательство. Действительно, условием обращения нера-
венства Рао-Крамера в равенство является соотношение
∂ ln p(x; θ)
∂θ
= k(θ)[T (x) − τ (θ)]
и, следовательно, распределение p(x; θ) зависит от выборки x
только через статистику T (x).
6.3 Теорема Блекуэлла-Колмогорова
Теорема 6.2 (Блекуэлла-Колмогорова). Пусть T
1
(x) – доста-
точная статистика для τ (θ) и T
2
(x) – эффективная оценка
для τ(θ). Тогда T
2
(X) = f(T
1
(X)) с вероятностью 1.
Доказательство. Обозначим M
θ
[T
2
(X)|T
1
(X) = y] = f(y),
и покажем, что T
2
(x) = f (T
1
(x)). Действительно, пусть
64
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 62
- 63
- 64
- 65
- 66
- …
- следующая ›
- последняя »
