Методы решения задач математической физики. Рындин Е.А. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТТИ ЮФУ | Таганрог

Составители: 

Рубрика: 

16
)sin(
)sin(
0
0
2
2
2
ϕ
+
+
−
∂
∂
=
wt
skxk
A
x
u
. (72)
Вторая производная от u(x, t) по времени t имеет вид
)sin(
)sin(
0
0
2
2
2
ϕ
+
+
−
∂
∂
=
wt
skxw
A
t
u
. (73)
Сравнивая выражения (72) и (73) с (67) легко увидеть, что
),(
2
2
2
txu
k
x
u
−
∂
∂
=
; (74)
),(
2
2
2
txu
w
t
u
−
∂
∂
=
. (75)
Выражая u(x, t) из (74), (75) и приравнивая правые части полученных вы-
ражений, имеем уравнение в частных производных
x
u
kt
u
w ∂
∂
∂
∂
=
2
2
22
2
2
11
, (76)
называемое волновым [6].
В простейшем случае, при w = 1 и k = 1, получим
x
u
t
u
∂
∂
∂
∂
=
2
2
2
2
. (77)
Обобщая (77) для случая трех координат, можем записать волновое урав-
нение в операторной форме
u
t
u
∆
∂
∂
=
2
2
. (78)
В случае затухающих колебаний, когда амплитуда является функцией от
координат и времени A = A(x, t), коэффициенты в уравнении (76) будут иметь
более сложный вид.
1.4. Системы дифференциальных уравнений в частных производных
Некоторые задачи математической физики описываются системами диф-
ференциальных уравнений в частных производных. Так, например, процессы
переноса и накопления зарядов в полупроводниковых приборах при определен-
ных условиях описываются так называемой фундаментальной системой урав-
нений (ФСУ) в диффузионно-дрейфовом приближении, в которую входят урав-
нения непрерывности для электронов и дырок (65), (66), уравнения плотностей
электронной и дырочной составляющих электрического тока и уравнение Пу-
ассона (46). В ряде случаев ФСУ решается совместно с уравнениями баланса
энергии и импульса, уравнением теплопроводности и др. [2, 4].

Страницы