Методы решения задач математической физики. Рындин Е.А. - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТТИ ЮФУ | Таганрог

Составители: 

Рубрика: 

23
2.1. Граничные условия
Предположим, необходимо решить определенную задачу, описываемую
уравнениями матфизики, для некоторой области Θ. Тогда для нахождения
единственного решения необходимо задать граничные условия (ГУ), то есть
выразить искомые переменные на границе Ω области Θ некоторыми уравне-
ниями.
Если область Θ представляет собой некоторый объем в трехмерном про-
странстве, то граница Ω будет представлять собой замкнутую поверхность в
этом пространстве, ограничивающую заданный объем. Если область Θ пред-
ставляет собой некоторую поверхность в двухмерном пространстве, то граница
Ω будет представлять собой замкнутый контур в этом пространстве, ограничи-
вающий заданную поверхность. И, наконец, если область Θ представляет собой
некоторый отрезок в одномерном пространстве, то граница Ω будет представ-
лять собой две точки на границах заданного отрезка.
По виду уравнений, задающих ГУ, различают граничные условия первого
рода (условия Дирихле), второго рода (условия Неймана) и третьего рода [1].
Граничные условия первого рода или краевая задача Дирихле имеют вид
),(),( tgtu xx
=
при
x
, (116)
0
,
≥
Ω∈
t
где u(x, t) – искомая функция; g(x, t) – некоторая заданная на границе Ω функ-
ция; x – координаты граничной точки в пространстве (например, для трехмер-
ного пространства x = (x, y, z)), t – время.
Если иметь ввиду задачу теплопроводности, то ГУ первого рода задают
температуру на границе Ω. В задаче о распределении электростатического поля
в непроводящей среде ГУ первого рода задают электрический потенциал на
границе Ω и т.д.
Граничные условия второго рода или краевая задача Неймана имеют вид
),(
),(
tg
n
tu
x
x
=
∂
∂
при
x
, (117)
0
,
≥
Ω∈
t
где n – внутренняя нормаль к границе Ω.
Иными словами, условия Неймана задают поток на границе, точнее, про-
екцию вектора потока на внутреннюю нормаль к границе. Например, в задачах
теплопроводности ГУ второго рода задают тепловой поток, в задаче о распре-
делении электростатического поля в непроводящей среде – проекцию вектора
напряженности электрического поля на нормаль к границе и т.д.
Граничные условия третьего рода являются более общим случаем краевых
задач Дирихле и Неймана и имеют вид
),(),(),(
),(
),( tgtutr
n
tu
th xxx
x
x
=+
∂
∂
при
x
, (118)
0
,
≥
Ω∈
t
где h(x, t), r(x, t) – некоторые функции координат и времени.

Страницы