Методы решения задач математической физики. Рындин Е.А. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТТИ ЮФУ | Таганрог

Составители: 

Рубрика: 

25
для уравнений второго порядка – два, для уравнений третьего порядка – три ГУ
и т.д.
2.2. Начальные условия
Для нахождения единственного решения в задачах, описывающих неста-
ционарные, т.е. изменяющиеся во времени физические процессы, помимо гра-
ничных необходимо задавать еще и начальные условия, определяющие значе-
ния переменных или их градиентов во всех внутренних точках рассматривае-
мой области Θ, исключая границу Ω (Θ\Ω), в начальный момент времени:
)()0,( xx
ξ
=
u
при
x
; (125)
ΩΘ
∈
\
)(
)0,(
x
x
ξ
=
∂
∂
t
u
при
x
; (126)
ΩΘ
∈
\
)()0,()(
)0,(
)( xxx
x
x
ξσδ
=+
∂
∂
u
t
u
при
x
, (127)
ΩΘ
∈
\
где u(x, 0) – искомая функция в начальный момент времени;
ξ
(x), δ(x), σ(x) –
некоторые функции координат.
Аналогично граничным условиям, количество начальных условий для ка-
ждой переменной определяется максимальным порядком производной по вре-
мени в дифференциальных уравнениях [6].
3. МЕТОДЫ ДИСКРЕТИЗАЦИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
К сожалению, аналитическое решение уравнений математической физики
возможно лишь для весьма ограниченного круга задач. В большинстве случаев
решение дифференциальных уравнений в частных производных возможно
только с использованием численных итерационных методов [1 – 7].
Суть данных методов состоит в дискретизации дифференциальных урав-
нений, то есть представлении всех или части производных в виде приближен-
ных выражений (конечных разностей или конечных элементов), что позволяет
преобразовать дифференциальные уравнения в системы алгебраических урав-
нений. Для этого рассматриваемая область Θ покрывается координатной сет-
кой, а все переменные заменяются сеточными функциями. Иными словами,
значения переменных исследуются не для всего бесконечного множества точек
области Θ, а лишь для некоторого конечного подмножества G. Причем при ре-
шении нестационарных задач помимо координатной сетки вводится сетка вре-
мени.
Число алгебраических уравнений в полученной системе (размерность дис-
кретной задачи) определяется произведением числа точек координатной сетки
на количество независимых переменных в исходных дифференциальных урав-
нениях.

Страницы