Методы решения задач математической физики. Рындин Е.А. - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТТИ ЮФУ | Таганрог

Составители: 

Рубрика: 

27
Аналогично, двухмерной равномерной сеткой называют множество точек
G = {(x
i
= ih
1
, y
j
= jh
2
), | i = 0, 1, 2, …, n, j = 0, 1, 2, …, m }. Неравномерная двух-
мерная сетка представляет собой множество G = {(x
i
, y
j
) | i = 0, 1, 2, …, n, j = 0,
1, 2, …, m, x
0
= 0, x
n
= s
1
, y
0
= 0, y
m
= s
2
} (рис. 1, б).
Соответственно неравномерная трехмерная сетка представляет собой мно-
жество G = {(x
i
, y
j
, z
k
) | i = 0, 1, 2, …, n, j = 0, 1, 2, …, m, k = 0, 1, 2, …, l, x
0
= 0, x
n
= s
1
, y
0
= 0, y
m
= s
2
, z
0
= 0, z
l
= s
3
} (рис. 1, в).
3.1.2. Сеточные функции, конечные разности и шаблоны
Введение для области Θ координатной сетки G предполагает, что значения
всех переменных и их производных рассматриваются только в узлах этой сетки
(см. рис. 1). С целью выполнения данного требования все переменные задачи
заменяются сеточными функциями, а производные любого порядка – конечны-
ми разностями [1, 2, 4, 6].
Пусть для некоторой области Θ задана сетка G = {(x
i
, y
j
, z
k
) | i = 0, 1, 2, …,
n, j = 0, 1, 2, …, m, k = 0, 1, 2, …, l, x
0
= 0, x
n
= s
1
, y
0
= 0, y
m
= s
2
, z
0
= 0, z
l
= s
3
}.
Тогда функцию
ϕ
=
ϕ
(x
i
, y
j
, z
k
), i = 0, 1, 2, …, n, j = 0, 1, 2, …, m, k = 0, 1, 2, …, l
дискретного аргумента (x
i
, y
j
, z
k
) называют сеточной функцией, определенной
на сетке G [1].
Любой непрерывной функции f(x, y, z), заданной в области Θ, можно по-
ставить в соответствие сеточную функцию
ϕ
(x
i
, y
j
, z
k
) (для удобства обознача-
ют
ϕ
i,j,k
), заданную на сетке G = {(x
i
, y
j
, z
k
) | i = 0, 1, 2, …, n, j = 0, 1, 2, …, m,
k = 0, 1, 2, …, l, x
0
= 0, x
n
= s
1
, y
0
= 0, y
m
= s
2
, z
0
= 0, z
l
= s
3
} (спроектировать
функцию f(x, y, z) на сетку G), принимая определенное правило соответствия.
Например,
),,
(
,,
z
yx
f
k
ji
kji
=
ϕ
; (128)
()
()
∫∫∫
+
−
+
−
+
−
−+
−+
−+
−
−−
=
z
z
y
y
x
x
kji
k
k
j
j
i
i
dxdydzzyxf
zz
yy
xx
kk
jj
ii
2/1
2/1
2/1
2/1
2/1
2/1
),,(
1
2/12/1
2/12/1
2/12/1
,,
ϕ
, (129)
где x
i
±1/2
, y
j
±1/2
, z
k
±1/2
– координаты серединных точек на соответствующих шагах
координатной сетки, определяемые выражениями
2
1
2/1
xx
x
ii
i
+
=
+
+
; (130)
2
1
2/1
xx
x
ii
i
−
+
=
−
; (131)
2
1
2/1
yy
y
jj
j
+
=
+
+
; (132)

Страницы