Методы решения задач математической физики. Рындин Е.А. - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТТИ ЮФУ | Таганрог

Составители: 

Рубрика: 

26
Выбор метода решения полученной системы алгебраических уравнений
определяется ее размерностью и характером (линейный или нелинейный). Для
решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) широко исполь-
зуют метод исключения Гаусса, метод LU-разложения и др. [3]. Для решения
систем нелинейных алгебраических уравнений и линейных систем больших
размерностей используют итерационные методы Якоби, Зейделя, Ньютона-
Рафсона и др. [1, 3].
3.1. Метод конечных разностей
Метод конечных разностей предполагает дискретизацию дифференциаль-
ных уравнений на так называемых прямоугольных координатных сетках, то
есть на сетках, элементарные ячейки которых представляют собой прямоуголь-
ники для двух измерений или параллелепипеды для трех измерений.
3.1.1. Конечно-разностные сетки
Рассмотрим одномерную область Θ, представляющую собой отрезок [0, s].
Разобьем этот отрезок точками x
i
= ih, i = 0, 1, 2, …, n на n равных частей длины
h = s/n каждая. Множество точек G = {x
i
= ih | i = 0, 1, 2, …, n} называется рав-
номерной одномерной координатной сеткой, а число h – шагом сетки [1].
Отрезок [0, s] можно разбить на n частей, вводя произвольные точки
0 < x
1
< x
2
< … < x
i-1
< x
i
< x
i+1
< … < x
n-1
< s.
Координатная сетка G = {x
i
| i = 0, 1, 2, …, n, x
0
= 0, x
n
= s} будет иметь шаг
h
i
= x
i
– x
i-1
, который зависит от номера i узла x
i
. Если h
i
≠
h
i+1
хотя бы для одно-
го номера i, координатная сетка G называется неравномерной (рис. 1, а).
x
x
1
x
2
x
3
x
i-1
x
i
x
i+1
x
n-1
x
n
а
x
y
x
1
x
2
x
3
x
i-1
x
i
x
i+1
x
n-1
x
n
y
1
y
2
y
j
y
j+1
y
m
x
y
x
1
x
2
x
3
x
i-1
x
i
x
i+1
x
n-1
x
n
y
1
y
2
y
j
y
j+1
y
m
z
z
1
z
2
z
k-1
z
k
z
k+1
z
l
б в
Рис. 1. Координатные сетки:
а – одномерная; б – двухмерная; в - трехмерная

Страницы