Методы решения задач математической физики. Рындин Е.А. - 55 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТТИ ЮФУ | Таганрог

Составители: 

Рубрика: 

55
Далее воспользуемся следующим алгоритмом решения полученной систе-
мы:
1) задание допустимой погрешности решения δ;
2) задание начального приближения для переменных {x
1
, x
2
, x
3
, …, x
n
/2
} (произ-
вольным образом или по определенному правилу из известной окрестности
решения);
3) подстановка полученных значений переменных {x
1
, x
2
, x
3
, …, x
n
/2
} в подсис-
тему (207);
4) решение подсистемы (207) относительно переменных {x
n
/2+1
, x
n
/2+2
, x
n
/2+3
, …,
x
n
} одним из известных методов (метод исключения Гаусса, LU-разложения,
итерация Якоби и др.);
5) подстановка полученных значений переменных {x
n
/2+1
, x
n
/2+2
, x
n
/2+3
, …, x
n
} в
подсистему (206);
6) решение подсистемы (206) относительно переменных {x
1
, x
2
, x
3
, …, x
n
/2
} од-
ним из известных методов (метод исключения Гаусса, LU-разложения, ите-
рация Якоби и др.);
7) определение относительной погрешности приближения любым из известных
способов, например, в соответствии с выражением
),...,,max(
),...,,max(
)0(
2/
)0(
2
)0(
1
)1(
2/
)(
2/
)1(
2
)(
2
)1(
1
)(
1
xxx
xxxxxx
n
i
n
i
n
iiii
−−−
=
−−−
ε
, (208)
где переменные и числа в скобках в верхних индексах обозначают номер
итерации;
8) если выполняется неравенство
δε
≤
, (209)
то найденное приближение к решению удовлетворяет заданной точности и
итерационный процесс завершается выводом полученного результата
{x
1
, x
2
, x
3
, …, x
n
}. В противном случае осуществляется переход к п. 3) и вы-
полняется новая итерация.
Данный алгоритм позволяет примерно в 2 раза сократить требуемый объем
оперативной памяти компьютера, поскольку подсистемы (206) и (207) размер-
ностью в 2 раза меньшей, чем исходная система (205), решаются последова-
тельно. При необходимости система (205) может быть разбита на большее чис-
ло последовательно решаемых подсистем, что позволит дополнительно увели-
чить ее допустимую размерность.
4.2. Методы решения систем нелинейных алгебраических уравнений
В данном подразделе обобщим итерационные методы Якоби и Гаусса-
Зейделя, рассмотренные выше, на случай систем нелинейных алгебраических
уравнений, а также рассмотрим метод Ньютона-Рафсона и условия сходимости
методов [1, 3].

Страницы