Методы решения задач математической физики. Рындин Е.А. - 56 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТТИ ЮФУ | Таганрог

Составители: 

Рубрика: 

56
4.2.1. Итерация неподвижной точки
Пусть задана система нелинейных алгебраических уравнений в виде
()
()
(
()
,,,,
;,,,
;,,,
;,,,
21
21
3
3
21
2
2
21
1
1
xxx
f
x
xxx
f
x
xxx
f
x
xxx
f
x
n
n
n
n
n
n
K
M
K
K
K
=
=
=
=
)
(210)
где f
1
, f
2
, …, f
n
– некоторые нелинейные функции от (x
1
, x
2
, x
3
, …, x
n
).
Неподвижной точкой для системы (210) называется такая точка
Р = (р
1
, р
2
, …, р
n
), для которой выполняется равенство [3]
.,,,
;,,,
;,,,
;,,,
21
2133
2122
2111
=
=
=
=
pppfp
pppfp
pppfp
pppfp
nnn
n
n
n
K
M
K
K
K
(211)
Иными словами, неподвижная точка фактически является решением сис-
темы (210).
Итерационный метод решения систем нелинейных алгебраических урав-
нений, называемый итерацией неподвижной точки, является обобщением ите-
рации Якоби на случай нелинейных систем состоит в следующем:
1) задание допустимой погрешности решения
δ
;
2) задание начального приближения x
(0)
= [x
1
(0)
, x
2
(0)
, …, x
n
(0)
];
3) нахождение следующего приближения к решению x
(
k
)
= [x
1
(
k
)
, x
2
(
k
)
, …, x
n
(
k
)
]
путем подстановки текущего приближения x
(
k
-1)
= [x
1
(
k
-1)
, x
2
(
k
-1)
, …, x
n
(
k
-1)
] в
правую часть системы (210)
),,,,(
)1()1(
3
)1(
2
)1(
1
)(
xxxx
f
x
k
n
kkk
i
k
i
−−−−
=
K
, (212)
где i = 1, 2, …, n;
4) определение погрешности k-го приближения
ε
в соответствии с выражением
),...,,max(
),...,,max(
)0()0(
2
)0(
1
)1()()1(
2
)(
2
)1(
1
)(
1
xxx
xxxxxx
n
k
n
k
n
kkkk
−−−
=
−−−
ε
; (213)

Страницы