Теория массового обслуживания. Саакян Г.Р. - 26 стр.

                                                                                                    25

машины     Tоб = 2,5 мин, следовательно,                интенсивность          потока     обслуживаний
μ = 1 2,5 = 0,4 (машины в минуту).
      Определяем интенсивность нагрузки канала:        ρ = λ μ = 0,5 0,4 = 1,25 .
                                                    ρ (1 − ρ )
                                                       4

      Вычисляем вероятность отказа Pотк           =            ≈ 0,297 , откуда относительная
                                                     1− ρ5
пропускная способность Q = 1 − Pотк ≈ 1 − 0,297 = 0,703 и абсолютная пропускная способ-
ность A = λQ ≈ 0,5 ⋅ 0,703 ≈ 0,352 .
      Среднее число машин, ожидающих в очереди на заправку
                                    ρ 2 (1 − ρ 3 (4 − 3 ρ ) )
                            Lоч =                             ≈ 1,559 .
                                      (1 − ρ )(1 − ρ 5 )
       Среднее время ожидания машины в очереди находим по формуле Литтла
                             Tоч = Lоч λ ≈ 1,559 0,5 = 3,118 .
       Таким образом, из анализа работы СМО следует, что из каждых 100 подъезжающих
машин 30 получают отказ ( Pотк ≈ 29,7% ), т.е. обслуживаются 2/3 заявок. Поэтому необхо-
димо либо сократить время обслуживания одной машины (увеличить интенсивность потока
обслуживаний), либо увеличить число колонок, либо увеличить площадку для ожидания.
Оптимальное решение принимается с учетом затрат, связанных соответственно с увеличени-
ем штата обслуживающего персонала (увеличение производительности канала), с расшире-
нием площадки для ожидания или приобретением дополнительной колонки, и потерь, свя-
занных с потерей заявок на обслуживание.
       2. Одноканальная СМО с (неограниченным) ожиданием. Проанализируем работу
одноканальной СМО с ожиданием без ограничений на длину очереди и на время ожидания в
очереди. По-прежнему будем предполагать, что входящий поток и поток обслуживаний яв-
ляются простейшими и имеют интенсивности λ и μ соответственно.
       Такая система представляет собой предельный случай системы, рассмотренной в пре-
дыдущем пункте, при m → ∞ . Таким образом, длина очереди станет бесконечной и в соот-
ветствии с этим бесконечным станет число состояний СМО. Размеченный граф состояний
представлен на рис. 11.

                       λ             λ             λ             λ                λ
                                                           ...                          ...
                  S0         S1              S2            ...            Sk            ...
                        μ            μ              μ            μ                μ
                                         Рисунок 11.
       Если отказаться от ограничения на длину очереди, то случаи ρ < 1 и ρ ≥ 1 начинают
существенно различаться.
       Если λ > μ ( ρ > 1 ), т.е. среднее число заявок, поступивших в систему за единицу
времени, больше среднего числа обслуживаемых заявок за то же время при непрерывно ра-
ботающем канале, то очевидно, что очередь неограниченно растет. В этом случае предель-
ный режим не устанавливается и предельных вероятностей состояний не существует (точнее,
они равны нулю).
       В случае λ = μ ( ρ = 1 ) только при условии, что входящий поток заявок и поток об-
служиваний регулярные (т.е. заявки поступают в СМО через равные интервалы времени, и
время обслуживания одной заявки является постоянным, равным интервалу времени между
поступлениями заявок), очереди вообще не будет и канал будет обслуживать заявки непре-
рывно. Но как только входящий поток или поток обслуживаний перестает быть регулярным
и приобретает элементы случайности, очередь начинает расти до бесконечности.