ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
26
Поэтому далее при рассмотрении указанных систем будем предполагать, что
μ
λ
<
,
т.е. 1<
ρ
. При этом условии с течением времени устанавливается предельный режим, и пре-
дельные вероятности состояний существуют.
Устремляя m к бесконечности в формулах для вероятностей состояний (полученных
для СМО с ограниченной длиной очереди при 1
<
ρ
), находим выражения для предельных
вероятностей состояний рассматриваемой СМО:
)1(
1
1
2
0
limlim
ρρ
ρ
ρ
ρρ
−=
−
−
==
+
∞→∞→
k
m
m
kk
m
k
pp
; ,..2,1,0=
k
(23)
Предельные вероятности (23) удовлетворяют нормировочному условию
1...
210
=
+
+
+
ppp .
В самом деле,
∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
−=−=
000
)1()1(
k
k
k
k
k
k
p
ρρρρ
.
Но ряд
∑
∞
=0k
k
ρ
представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрес-
сии с первым членом 1
0
1
==
ρ
b и знаменателем 1
<
ρ
. Поэтому
ρ
ρ
−
=
∑
∞
=
1
1
0k
k
и, следовательно,
1
1
1
)1(
0
=
−
⋅−=
∑
∞
=
ρ
ρ
k
k
p
.
При отсутствии ограничений на очередь каждая заявка, поступившая в СМО, рано
или поздно будет обслужена. Поэтому вероятность отказа равна нулю: 0=
отк
P .
Следовательно, вероятность того, что поступившая заявка будет принята в систему,
так же как и относительная пропускная способность Q , равна единице:
11
=
−
=
отк
PQ
.
Тогда для абсолютной пропускной способности
A
(и интенсивности выходящего потока)
будем иметь:
λ
λ
== Q
A
, т.е. интенсивности входящего и выходящего потоков совпадают.
Среднее число заявок в очереди
оч
L получим из формулы (21) при 1<
ρ
переходом к
пределу при
∞→m :
()
(
)
ρ
ρρρ
ρρ
ρρρ
−
−+−
=
−−
−+−
=
∞→
+
∞→
1
)11(1
)1)(1(
)1(1
2
2
2
limlim
mmmm
L
m
m
m
m
m
оч
.
Известно, что бесконечно малая
m
ρ
( 1
<
ρ
,
∞
→m ) является бесконечно малой бо-
лее высокого порядка, чем бесконечно малая
1−
m ( )(
1−
=
mo
m
ρ
), т.е. 0→
m
m
ρ
при
∞→m . Следовательно,
ρ
ρ
−
=
1
2
оч
L .
Среднее время ожидания заявки в очереди по формуле Литтла равно
)1()1()1(
22
ρμ
ρ
ρμρ
ρ
ρλ
ρ
λ
−
=
−
=
−
==
оч
оч
L
T
.
Наконец, среднее время пребывания заявки в СМО
СМО
T складывается из среднего
времени заявки в очереди
оч
T
и среднего времени обслуживания заявки
об
T
:
)1()1(
11
)1(
ρλ
ρ
ρμμρμ
ρ
−
=
−
=+
−
=+=
обочСМО
TTT
.
26
Поэтому далее при рассмотрении указанных систем будем предполагать, что λ < μ ,
т.е. ρ < 1. При этом условии с течением времени устанавливается предельный режим, и пре-
дельные вероятности состояний существуют.
Устремляя m к бесконечности в формулах для вероятностей состояний (полученных
для СМО с ограниченной длиной очереди при ρ < 1), находим выражения для предельных
вероятностей состояний рассматриваемой СМО:
1− ρ
pk = lim ρ k p0 = ρ k lim = ρ k (1 − ρ ) ; k = 0,1,2,.. (23)
m→∞ 1 − ρ
m+2
m→∞
Предельные вероятности (23) удовлетворяют нормировочному условию
p0 + p1 + p2 + ... = 1.
В самом деле,
∞ ∞ ∞
∑ pk = ∑ ρ k (1 − ρ ) = (1 − ρ )∑ ρ k .
k =0 k =0 k =0
∞
Но ряд ∑ρ
k =0
k
представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрес-
сии с первым членом b1 = ρ 0 = 1 и знаменателем ρ < 1. Поэтому
∞
1 ∞
1
∑ρ
k =0
k
=
1− ρ
и, следовательно, ∑p
k =0
k = (1 − ρ ) ⋅
1− ρ
= 1.
При отсутствии ограничений на очередь каждая заявка, поступившая в СМО, рано
или поздно будет обслужена. Поэтому вероятность отказа равна нулю: Pотк = 0 .
Следовательно, вероятность того, что поступившая заявка будет принята в систему,
так же как и относительная пропускная способность Q , равна единице:
Q = 1 − Pотк = 1 .
Тогда для абсолютной пропускной способности A (и интенсивности выходящего потока)
будем иметь: A = λQ = λ , т.е. интенсивности входящего и выходящего потоков совпадают.
Среднее число заявок в очереди Lоч получим из формулы (21) при ρ < 1 переходом к
пределу при m → ∞ :
ρ 2 (1 − ρ m (m + 1 − mρ ) ) ρ 2 (1 − mρ m (1 + 1 m − ρ ) )
Lоч = lim = lim .
m→∞ (1 − ρ )(1 − ρ m+ 2 ) m→∞ 1− ρ
Известно, что бесконечно малая ρ ( ρ < 1 , m → ∞ ) является бесконечно малой бо-
m
лее высокого порядка, чем бесконечно малая m ( ρ = o( m ) ), т.е. mρ → 0 при
−1 m −1 m
ρ2
m → ∞ . Следовательно, Lоч = .
1− ρ
Среднее время ожидания заявки в очереди по формуле Литтла равно
Lоч ρ2 ρ2 ρ
Tоч = = = = .
λ λ (1 − ρ ) μρ (1 − ρ ) μ (1 − ρ )
Наконец, среднее время пребывания заявки в СМО TСМО складывается из среднего
времени заявки в очереди Tоч и среднего времени обслуживания заявки Tоб :
ρ 1 1 ρ
TСМО = Tоч + Tоб = + = = .
μ (1 − ρ ) μ μ (1 − ρ ) λ (1 − ρ )
