ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
24
мени обслуживания, поскольку нужно обслужить две заявки: ту, которая находится в канале
обслуживания, и ту, которая ждет в очереди). И так далее.
Если заявка поступит в систему при гипотезе
m
H , т.е. когда канал занят и в очереди
ждут 1−m заявок, то
μ
mHTM
mоч
=
)|(
.
Наконец, заявка, пришедшая в СМО при гипотезе
1+m
H , т.е. когда канал занят, m
заявок стоят в очереди, и свободных мест в очереди больше нет, получает отказ и покидает
систему. Поэтому в этом случае 0)|(
1
=
+mоч
HTM .
Следовательно, по формуле полного математического ожидания, среднее время ожи-
дания заявки в очереди
∑∑∑
+
===
=⋅=⋅==
1
011
1
)|()()(
m
k
m
k
m
k
kkkочkочоч
kp
k
pHTMHpTMT
μμ
.
Подставляя сюда выражения для вероятностей
k
p ( m
k
,...,2,1
=
), получаем:
∑∑
=
−
=
==
m
k
k
m
k
k
оч
k
p
pkT
1
1
1
0
0
1
ρ
μ
ρ
ρ
μ
. (22)
Если интенсивность нагрузки канала 1
≠
ρ
, то из равенства (22) с учетом формул
(20), (21), а также выражения для
0
p находим:
=
−
−+−
⋅
−
−
⋅=
+ 22
)1(
)1(1
1
1
ρ
ρρ
ρ
ρ
μ
ρ
mm
T
m
m
оч
λρρμρ
ρρρ
оч
m
m
L
mm
=
−−
−+−
=
+
)1)(1(
)1(1(
2
2
.
Если же 1=
ρ
, то, подставляя в равенство (22) выражение
)2(1
0
+= mp
, значение
суммы 2)1(
1
+=
∑
=
mmk
m
k
, используя формулу (21) при 1
=
ρ
и учитывая, что в данном
случае
λ
μ
= , будем иметь
λλ
оч
оч
L
m
mm
T =
+
+
=
)2(2
)1(
.
Итак, для любого
ρ
получаем формулу для среднего времени пребывания заявки в очереди,
которая называется формулой Литтла:
λ
оч
оч
L
T =
,
т.е. среднее время ожидания заявки в очереди
оч
T равно среднему числу заявок в очереди
оч
L ,
деленному на интенсивность
λ
входящего потока заявок.
Пример. На автозаправочной станции (АЗС) имеется одна колонка. Площадка при
станции, на которой машины ожидают заправку, может вместить не более трех машин одно-
временно, и если она занята, то очередная машина, прибывшая к станции, в очередь не ста-
новится, а проезжает на соседнюю АЗС. В среднем машины прибывают на станцию каждые
2 мин. Процесс заправки одной машины продолжается в среднем 2,5 мин. Определить ос-
новные характеристики системы.
Решение. Математической моделью данной АЗС является одноканальная СМО с ожи-
данием и ограничением на длину очереди ( 3
=
m ). Предполагается, что поток машин, подъ-
езжающих к АЗС для заправки, и поток обслуживаний – простейшие.
Поскольку машины прибывают в среднем через каждые 2 мин, то интенсивность вхо-
дящего потока равна
5,021 ==
λ
(машин в минуту). Среднее время обслуживания одной
24
мени обслуживания, поскольку нужно обслужить две заявки: ту, которая находится в канале
обслуживания, и ту, которая ждет в очереди). И так далее.
Если заявка поступит в систему при гипотезе H m , т.е. когда канал занят и в очереди
ждут m − 1 заявок, то M (Tоч | H m ) = m μ.
Наконец, заявка, пришедшая в СМО при гипотезе H m+1 , т.е. когда канал занят, m
заявок стоят в очереди, и свободных мест в очереди больше нет, получает отказ и покидает
систему. Поэтому в этом случае M (Tоч | H m +1 ) = 0 .
Следовательно, по формуле полного математического ожидания, среднее время ожи-
дания заявки в очереди
m +1 m
k 1 m
Tоч = M (Tоч ) = ∑ p( H k ) ⋅ M (Tоч | H k ) = ∑ pk ⋅ = ∑ kp .
k =0 k =1 μ μ k =1
k
Подставляя сюда выражения для вероятностей pk ( k = 1,2,..., m ), получаем:
1 m
ρp0 m k −1
Tоч =
μ
∑ kρ
k =1
k
p0 = ∑ kρ .
μ k =1
(22)
Если интенсивность нагрузки канала ρ ≠ 1 , то из равенства (22) с учетом формул
(20), (21), а также выражения для p0 находим:
ρ 1 − ρ 1 − ρ m (m + 1 − mρ )
Tоч = ⋅ ⋅ =
μ 1 − ρ m+ 2 (1 − ρ ) 2
ρ 2 (1 − ρ m (m + 1 − mρ ) Lоч
= = .
μρ (1 − ρ m+ 2 )(1 − ρ ) λ
Если же ρ = 1 , то, подставляя в равенство (22) выражение p0 = 1 (m + 2) , значение
m
суммы ∑ k = m(m + 1)
k =1
2 , используя формулу (21) при ρ = 1 и учитывая, что в данном
случае μ = λ , будем иметь
m(m + 1) Lоч
Tоч = = .
2λ (m + 2) λ
Итак, для любого ρ получаем формулу для среднего времени пребывания заявки в очереди,
которая называется формулой Литтла:
Lоч
Tоч = ,
λ
т.е. среднее время ожидания заявки в очереди Tоч равно среднему числу заявок в очереди Lоч ,
деленному на интенсивность λ входящего потока заявок.
Пример. На автозаправочной станции (АЗС) имеется одна колонка. Площадка при
станции, на которой машины ожидают заправку, может вместить не более трех машин одно-
временно, и если она занята, то очередная машина, прибывшая к станции, в очередь не ста-
новится, а проезжает на соседнюю АЗС. В среднем машины прибывают на станцию каждые
2 мин. Процесс заправки одной машины продолжается в среднем 2,5 мин. Определить ос-
новные характеристики системы.
Решение. Математической моделью данной АЗС является одноканальная СМО с ожи-
данием и ограничением на длину очереди ( m = 3 ). Предполагается, что поток машин, подъ-
езжающих к АЗС для заправки, и поток обслуживаний – простейшие.
Поскольку машины прибывают в среднем через каждые 2 мин, то интенсивность вхо-
дящего потока равна λ = 1 2 = 0,5 (машин в минуту). Среднее время обслуживания одной
