Теория массового обслуживания. Саакян Г.Р. - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

22
Заметим, что относительная пропускная способность Q совпадает со средней долей приня-
тых (т.е. не получивших отказ) в систему заявок среди всех поступивших, поскольку заявка
попавшая в очередь непременно будет обслужена.
Абсолютная пропускная способность системы
Q
A
λ
=
.
Среднее число заявок
оч
L , стоящих в очереди на обслуживание определяется как ма-
тематическое ожидание дискретной случайной величины
k
– числа заявок, стоящих в оче-
реди:
)(kML
оч
=
.
Случайная величина
k
принимает значения 0, 1, 2, … , m, вероятности которых опре-
деляются вероятностями состояний системы
k
p . Таким образом, закон распределения дис-
кретной случайной величины
k
имеет следующий вид:
k
0 1 2 … m
p
10
pp +
2
p
3
p
…
1+m
p
Поэтому по определению математического ожидания дискретной случайной величины (с
учетом формул для вероятностей состояний) получаем:
=
⋅
+
+
⋅
+
⋅
+
+
⋅=
+13210
...21)(0)(
m
pmppppkM
∑∑∑
=
−
=
+
=
+
===
m
j
j
m
j
j
m
j
j
jppjjp
1
1
0
2
1
0
1
1
1
ρρρ
. (19)
Предположим, что 1≠
ρ
. Очевидно имеем:
∑∑∑
===
−
==
m
j
jj
m
j
m
j
j
d
d
d
d
j
111
1
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
.
Но сумма
∑
=
m
j
j
1
ρ
представляет собой сумму первых m членов геометрической прогрессии
m
ρ
ρ
ρ
ρ
,...,,,
32
:
ρ
ρρ
ρ
ρρ
ρ
−
−
=
−
−
=
+
=
∑
11
)1(
1
1
mm
m
j
j
, 1
≠
ρ
. Тогда
)1(
)1(
)1(1
1
2
1
11
1
≠
−
−+−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
==
+
==
−
∑∑
ρ
ρ
ρρ
ρ
ρρ
ρ
ρ
ρ
ρ
mm
d
d
d
d
j
mm
m
j
j
m
j
j
. (20)
Подставив выражение (20) в (19), найдем:
2
0
2
)1(
)1(1
)(
ρ
ρρ
ρ
−
−+−
=
mm
pkM
m
,
или, используя равенство
2
0
1
1
+
−
−
=
m
p
ρ
ρ
(полученное при 1
≠
ρ
), имеем
(
)
)1)(1(
)1(1
)(
2
2
+
−−
−+−
=
m
m
mm
kM
ρρ
ρρρ
.
Если же 1=
ρ
, то из равенства (19)
∑
=
=
m
j
jpkM
1
0
)( , 
                                                                                                                       22

Заметим, что относительная пропускная способность Q совпадает со средней долей приня-
тых (т.е. не получивших отказ) в систему заявок среди всех поступивших, поскольку заявка
попавшая в очередь непременно будет обслужена.
       Абсолютная пропускная способность системы
                                         A = λ Q.
      Среднее число заявок Lоч , стоящих в очереди на обслуживание определяется как ма-
тематическое ожидание дискретной случайной величины k – числа заявок, стоящих в оче-
реди:
                                      Lоч = M (k ) .
      Случайная величина k принимает значения 0, 1, 2, … , m, вероятности которых опре-
деляются вероятностями состояний системы pk . Таким образом, закон распределения дис-
кретной случайной величины k имеет следующий вид:

                          k               0                  1          2                 …    m
                          p        p0 + p1                   p2         p3                …   p m +1

Поэтому по определению математического ожидания дискретной случайной величины (с
учетом формул для вероятностей состояний) получаем:
                          M (k ) = 0 ⋅ ( p0 + p1 ) + 1 ⋅ p2 + 2 ⋅ p3 + ... + m ⋅ p m +1 =
                                   m                  m                            m
                              = ∑ jp j +1 = ∑ jρ j +1 p0 = ρ 2 p0 ∑ jρ j −1 .                                       (19)
                                   j =1               j =1                         j =1

         Предположим, что            ρ ≠ 1 . Очевидно имеем:
                                          m                   m
                                                                    d j    d m j
                                          ∑
                                          j =1
                                                 jρ j −1 = ∑
                                                              j =1 dρ
                                                                      ρ =    ∑ρ .
                                                                          dρ j =1
              m
Но сумма      ∑ρ
              j =1
                     j
                         представляет собой сумму первых m членов геометрической прогрессии

                          m
                               ρ (1 − ρ m ) ρ − ρ m+1
ρ , ρ , ρ ,..., ρ : ∑ ρ =
     2    3          m         j
                                           =          , ρ ≠ 1 . Тогда
                      j =1        1− ρ       1− ρ
          m
                      d m j d ⎛ ρ − ρ m+1 ⎞ 1 − ρ m (m + 1 − mρ )
        ∑     jρ =
                j −1
                           ∑ ρ = dρ ⎜⎜ 1 − ρ ⎟⎟ =
                     dρ j =1                              (1 − ρ ) 2
                                                                                                       ( ρ ≠ 1) .    (20)
         j =1                         ⎝         ⎠
         Подставив выражение (20) в (19), найдем:
                                               1 − ρ m (m + 1 − mρ )
                             M ( k ) = ρ p0                   2
                                                                       ,
                                                      (1 − ρ ) 2
                                  1− ρ
или, используя равенство p0 =                (полученное при ρ ≠ 1 ), имеем
                                1 − ρ m+2
                                        ρ 2 (1 − ρ m (m + 1 − mρ ) )
                              M (k ) =                               .
                                             (1 − ρ )(1 − ρ m+ 2 )
       Если же ρ = 1 , то из равенства (19)
                                                                            m
                                                             M ( k ) = p0 ∑ j ,
                                                                            j =1

Страницы