Теория массового обслуживания. Саакян Г.Р. - 21 стр.

                                                                                         20

      Будем постепенно увеличивать число каналов (телефонных номеров) n = 2, 3, 4,... и
определим для получаемой n -канальной СМО характеристики обслуживания. Значения ха-
рактеристик СМО сведем в таблицу.
                                                 Число каналов (телефонных номеров)
  Показатели эффективности     Обозначение
                                                  1     2      3     4     5      6
 Относительная пропускная
                                      Q            0,25   0,47   0,65   0,79   0,90   0,95
       способность
   Абсолютная пропускная
                                      A            22,5   42,3   58,8   71,5   80,1   85,3
        способность
      По условию оптимальности Q ≥ 0,9 , следовательно, в фирме необходимо установить
5 телефонных номеров (в этом случае Q = 0,90 ). При этом в час будут обслуживаться в
среднем 80 заявок ( A = 80,1 ), а среднее число занятых телефонных номеров (каналов) k =
A μ = 80,1 30 ≈ 2,67 .
        Тут уже проглядывает некоторый намек на оптимизацию. В самом деле, содержание
каждого канала в единицу времени обходится в какую-то сумму. Вместе с тем, каждая об-
служенная заявка приносит какой-то доход (если речь идет о СМО, для которых этот доход
можно оценить). Умножая этот доход на среднее число заявок A , обслуживаемых в единицу
времени, мы получим средний доход от СМО в единицу времени. Естественно, при увеличе-
нии числа каналов этот доход растет, но растут и расходы, связанные с содержанием кана-
лов. Что перевесит – увеличение доходов или расходов? Это зависит от условий операции,
т.е. от «платы за обслуживание заявки» и от стоимости содержания канала. Зная эти величи-
ны, можно найти оптимальное число каналов, наиболее экономически эффективное.

                            СМО с ожиданием (с очередью)

        1. Одноканальная СМО с ожиданием и ограничением на длину очереди. На прак-
тике довольно часто встречаются одноканальные СМО с очередью (врач, обслуживающий
пациентов; кассир, выдающий зарплату; телефон-автомат на улице и т.д.). В теории массово-
го обслуживания одноканальные СМО с очередью также занимают особое место: именно к
таким СМО относится большинство полученных до сих пор аналитических формул для не-
марковских систем.
        Рассмотрим одноканальную СМО, на вход которой поступает простейший поток зая-
вок с интенсивностью λ . Предположим, что поток обслуживаний также простейший с ин-
тенсивностью μ . Это означает, что непрерывно занятый канал обслуживает в среднем μ
заявок в единицу времени. Заявка, поступившая в СМО в момент, когда канал занят, в отли-
чие от СМО с отказами, не покидает систему, а становится в очередь и ожидает обслужива-
ния.
        Далее предполагаем, что в данной системе имеется ограничение на длину очереди,
под которой понимается максимальное число мест в очереди, а именно, предполагаем, что в
очереди могут находиться максимум m ≥ 1 заявок. Поэтому заявка, пришедшая на вход
СМО, в момент, когда в очереди уже стоят m заявок, получает отказ и покидает систему не-
обслуженной.
        Таким образом, рассматриваемая СМО относится к системам смешанного типа с ог-
раничением на длину очереди.
        Пронумеруем состояния СМО по числу заявок, находящихся в системе, т.е. под об-
служиванием и в очереди:
S 0 – канал свободен (следовательно, очереди нет);