Теория массового обслуживания. Саакян Г.Р. - 22 стр.

                                                                                        21

S1 – канал занят и очереди нет, т.е. в СМО находится (под обслуживанием) одна заявка;
S 2 – канал занят и в очереди стоит одна заявка;
……………………………………………………..
S m+1 – канал занят и в очереди m заявок.
        Граф состояний данной СМО представлен на рис. 10 и совпадает с графом , описы-
вающим процесс гибели и размножения, с тем отличием, что при наличии только одного ка-
нала обслуживания все интенсивности потоков обслуживаний равны μ .
                               λ             λ             λ      ...      λ
                      S0
                               μ
                                     S1
                                              μ
                                                    S2
                                                           μ
                                                                  ...        S
                                                                           μ m+1
                                    Рисунок 10.
      Для описания предельного режима работы СМО можно воспользоваться изложенны-
ми ранее правилами и формулами. Запишем сразу выражения, определяющие предельные
вероятности состояний:
                                ⎧⎪ pk = ρ k ⋅ p0 , k = 1,2,..., m + 1,
                                 ⎨
                                 ⎪⎩ p0 = (1 + ρ + ρ 2 + ... + ρ m +1 ) ,
                                                                      −1



где   ρ = λ μ – интенсивность нагрузки канала.
        Если λ = μ , то получаем p0 = p1 = ... = p m + 1 = 1 ( m + 2) .
        Пусть теперь λ ≠ μ ( ρ ≠ 1). Выражение для p0 можно в данном случае записать
проще, пользуясь тем, что в знаменателе стоит сумма m + 2 членов геометрической про-
грессии со знаменателем ρ :
                                                    1− ρ
                                          p0 =              .
                                                  1 − ρ m+2
Заметим, что при m = 0 мы переходим к уже рассмотренной одноканальной СМО с отказа-
ми. В этом случае p0 = (1 − ρ ) (1 − ρ ) = μ (λ + μ ) (как и было получено ранее).
                                      2


       Определим основные характеристики одноканальной СМО с ожиданием: относитель-
ную и абсолютную пропускную способность, вероятность отказа, а также среднюю длину
очереди и среднее время ожидания заявки в очереди.
       Поступившая на вход СМО заявка получает отказ тогда и только тогда, когда канал
занят и в очереди ожидают m заявок, т.е. когда система находится в состоянии S m + 1 . По-
этому вероятность отказа определяется вероятностью появления состояния S m + 1 :
                                         ⎧ ρ m + 1 (1 − ρ )
                                         ⎪⎪ 1 − ρ m + 2 , если ρ ≠ 1;
                       Pотк    = pm +1 = ⎨
                                          ⎪ 1 ,             если ρ = 1.
                                          ⎪⎩ m + 2
       Относительная пропускная способность, или доля обслуживаемых заявок, поступаю-
щих в единицу времени, определяется выражением:
                                           ⎧1 − ρ m + 1
                                           ⎪⎪1 − ρ m + 2 , если ρ ≠ 1;
                           Q = 1 − Pотк   =⎨
                                            ⎪ m +1 ,       если ρ = 1.
                                            ⎪⎩ m + 2