Теория массового обслуживания. Саакян Г.Р. - 20 стр.

                                                                                                        19
                                                                           −1
                                      ⎛        ρ2         ρn ⎞
                                p0 = ⎜⎜1 + ρ +    + ... +     ⎟⎟ .                               (16)
                                      ⎝        2!         n !  ⎠
          При этом
                                                  ρ2                              ρn
                               p1 = ρ p0 , p2 =         p0 , … , p n =                    p0 .    (17)
                                                   2!                                n!
       Формулы (16) и (17) для предельных вероятностей получили названия формул Эрлан-
га в честь основателя теории массового обслуживания.
       Вероятность отказа СМО есть предельная вероятность того, что все n каналов систе-
мы будут заняты, т.е.
                                                        ρn
                                       Pотк = pn =           p0 .
                                                        n!
Отсюда находим относительную пропускную способность – вероятность того, что заявка бу-
дет обслужена:
                                                             ρn
                                   Q = 1 − Pотк n = 1 −             p0 .
                                                             n!
          Абсолютную пропускную способность получим, умножая интенсивность потока зая-
вок   λ   на Q :
                                            ⎛ ρn ⎞
                                A = λQ = λ ⎜⎜1 −     p0 ⎟⎟ .                                     (18)
                                            ⎝    n !     ⎠
      Осталось только найти среднее число занятых каналов k . Эту величину можно было
бы найти «впрямую», как математическое ожидание дискретной случайной величины с воз-
можными значениями 0, 1,..., n и вероятностями этих значений p0 , p1 ,..., pn :
                                                                                 n
                        k = 0 ⋅ p0 + 1 ⋅ p1 + 2 ⋅ p2 + ... + n ⋅ pn = ∑ kpk .
                                                                                k =0

Подставляя сюда выражения (17) для pk и выполняя соответствующие преобразования, мы,
в конце концов, получили бы формулу для k . Однако среднее число занятых каналов можно
найти проще, если учесть, что абсолютная пропускная способность A системы есть не что
иное, как интенсивность потока обслуженных системой заявок (в единицу времени). Так как
каждый занятый канал обслуживает в среднем μ заявок (в единицу времени), то среднее
число занятых каналов
                                                    A
                                              k=
                                                   μ
или, учитывая (18):
                                              ⎛ ρn ⎞
                                       k = ρ ⎜⎜1 −     p0 ⎟⎟ .
                                              ⎝    n !     ⎠
       Пример. В условиях предыдущего примера определить оптимальное число телефон-
ных номеров в фирме, если условием оптимальности считать удовлетворение из каждых 100
заявок на переговоры в среднем не менее 90 заявок.
       Решение. Интенсивность нагрузки канала ρ = 90 / 30 = 3 , т.е. за время среднего (по
продолжительности) телефонного разговора Tоб = 2 мин поступает в среднем 3 заявки на
переговоры.