Теория массового обслуживания. Саакян Г.Р. - 19 стр.

                                                                                                18

венно вероятность отказа составит Pотк = 1 − 0,25 = 0,75 . Абсолютная пропускная способ-
ность СМО A = 90 ⋅ 0,25 = 22,5 , т.е. в среднем в час будут обслужены 22,5 заявки на пере-
говоры. Очевидно, что при наличии только одного телефонного номера СМО будет плохо
справляться с потоком заявок.
       2.Многоканальная система с отказами (задача Эрланга). Здесь мы рассмотрим одну
из первых по времени, «классических» задач теории массового обслуживания; эта задача
возникла из практических нужд телефонии и была решена в 1909 г. датским инженером-
математиком А.К. Эрлангом. Задача ставится так: имеется n каналов (линий связи), на кото-
рые поступает поток заявок с интенсивностью λ . Поток обслуживаний каждого канала име-
ет интенсивность μ . Найти предельные вероятности состояний системы и показатели ее эф-
фективности.
       Система S (СМО) имеет следующие состояния (нумеруем их по числу заявок, нахо-
дящихся в системе): S 0 , S1 ,…, S n , где S k – состояние системы, когда в ней находится k
заявок, т.е. занято k каналов.
       Граф состояний СМО соответствует процессу гибели и размножения (рис. 9):

                                                    λ           λ
               λ           λ           λ
                                              ...                    ... λ
          S0          S1          S2          ...        Sk          ...            Sn
                μ           2μ         3μ           kμ        (k + 1) μ        nμ
                                          Рисунок 9.
       Поток заявок последовательно переводит систему из любого левого состояния в со-
седнее правое с одной и той же интенсивностью λ . Интенсивность же потока обслужива-
ний, переводящих систему из любого правого состояния в соседнее левое, постоянно меня-
ется в зависимости от состояния. Действительно, если СМО находится в состоянии S 2 (два
канала заняты), то она может перейти в состояние S1 (один канал занят), когда закончит об-
служивание либо первый, либо второй канал, т.е. суммарная интенсивность их потоков об-
служиваний будет 2 μ . Аналогично суммарный поток обслуживаний, переводящий СМО из
состояния S 3 (три канала заняты) в S 2 , будет иметь интенсивность 3μ , т.е. может освобо-
диться любой из трех каналов, и т.д.
       В формуле (14) для схемы гибели и размножения получим для предельной вероятно-
сти состояния
                                                                          −1
                             ⎛   λ  λ2            λk             λn ⎞
                       p0 = ⎜⎜1 + +      + ... +        + ... +        ⎟ ,               (15)
                             ⎝   μ 2!μ 2         k! μ k         n!μ n ⎟⎠
                       λ λ                 λn
                               2

где члены разложения     ,          ,…,         – коэффициенты при p0 в выражениях для пре-
                       μ 2!μ 2            n!μ n
дельных вероятностей p1 , p 2 ,..., p n .
       Заметим, что в формулу (15) интенсивности λ и μ входят не по отдельности, а толь-
ко в виде отношения λ μ . Обозначим
                                             λ μ=ρ
и будем называть величину ρ приведенной интенсивностью потока заявок или интенсив-
ностью нагрузки канала. Она выражает среднее число заявок, приходящих за среднее время
обслуживания одной заявки. Пользуясь этим обозначением, перепишем формулу (15) в виде: