Теория массового обслуживания. Саакян Г.Р. - 18 стр.

                                                                                          17

      Система S (СМО) имеет два состояния: S 0 – канал свободен, S1 – канал занят. Раз-
меченный граф состояний представлен на рисунке 8.
      В предельном стационарном режиме система алгебраических уравнений (6) для веро-
ятностей состояний имеет вид (см. правило составления таких уравнений):
                                               ⎧λ p0 = μ p1 ,
                                               ⎨
                                               ⎩μ p1 = λ p0 ,
т.е. система вырождается в одно уравнение. Учитывая нормировочное условие p0 + p1 = 1 ,
найдем из полученной предельные вероятности состояний:
                                          μ                     λ
                                 p0 =             ,   p1 =           .
                                        λ+μ                   λ+μ
      Предельные вероятности состояний p0 и p1 можно выразить через средние времена
простоя канала Tпр и обслуживания одной заявки Tоб . Для этого в формулы для вероятно-
стей следует подставить   μ = 1 Tоб и λ = 1 Tпр . В результате получим
                                         Tпр                     Tоб
                               p0 =               ,   p1 =              .
                                      Tоб + Tпр               Tоб + Tпр
       Предельные вероятности выражают среднее относительное время пребывания систе-
мы в состоянии S 0 (когда канал свободен) и S1 (когда канал занят), т.е. определяют соответ-
ственно относительную пропускную способность Q системы и вероятность отказа Pотк :
                                                      μ
                                           Q=             ,
                                         λ+μ
                                           λ
                                   Pотк =       .
                                          λ+μ
      Пояснение. Почему Q = p0 ? В самом деле, p0 есть вероятность того, что заявка бу-
дет принята к обслуживанию (система находится в состоянии S 0 , т.е. канал свободен). Всего
в единицу времени приходит в среднем λ заявок и из них обслуживается λp0 заявок. Тогда
доля обслуживаемых заявок по отношению ко всему потоку заявок определяется величиной
                                                λ p0
                                         Q=          = p0 .
                                                 λ
      Абсолютную пропускную способность (или, иначе, среднее число заявок, поступаю-
щих в СМО в единицу времени) найдем, умножив относительную пропускную способность
Q на интенсивность потока заявок:
                                                       λμ
                                        A = λQ =          .
                                                      λ+μ
       Пример. В фирму поступает простейший поток заявок на телефонные переговоры с
интенсивностью λ = 90 вызовов в час, а средняя продолжительность разговора по телефону
Tоб = 2 мин. Определить показатели эффективности работы СМО (телефонной связи) при
наличии одного телефонного номера.
       Решение. Интенсивность потока обслуживаний μ = 1 Tоб = 1 2 = 0,5 (1 мин ) =
30 (1 ч) . Относительная пропускная способность СМО Q = 30 (90 + 30) = 0,25 , т.е. в
среднем только 25% поступающих заявок осуществят переговоры по телефону. Соответст-