Теория массового обслуживания. Саакян Г.Р. - 16 стр.

                                                                                                               15

       Рассмотрим упорядоченное множество состояний системы S 0 , S1 ,..., S n . Переходы
могут осуществляться из любого состояния только в состояния с соседними номерами, т.е. из
состояния S k возможны переходы либо в состояние S k −1 , либо в состояние S k +1 5.
       Предположим, что все потоки событий, переводящие систему по стрелкам графа, про-
стейшие с соответствующими интенсивностями λ k ,k +1 или λ k +1, k .
       По графу, представленному на рис. 7, составим и решим алгебраические уравнения
для предельных вероятностей состояний (их существование вытекает из возможности пере-
хода из каждого состояния в каждое другое и конечности числа состояний).
       В соответствии с ранее сформулированным правилом составления таких уравнений
получим:
для состояния S 0
                                                   λ01 p0 = λ10 p1 ,                                       (8)
для состояния S1 ―
                                     (λ12 + λ10 ) p1 = λ01 p0 + λ21 p2 ,
которое с учетом (8) приводится к виду
                                              λ12 p1 = λ21 p2 .
      Аналогично, записывая уравнения для предельных вероятностей других состояний,
можно получить следующую систему уравнений:
                                            ⎧λ01 p0 = λ10 p1 ,
                                            ⎪λ p = λ p ,
                                            ⎪ 12 1          21 2

                                            ⎪⎪......................
                                             ⎨λ p = λ p ,                                                (9)
                                             ⎪ k −1, k k −1       k , k −1 k

                                             ⎪......................
                                             ⎪
                                             ⎪⎩λn−1, n pn−1 = λn , n−1 pn ,
к которой добавляется нормировочное условие
                                            p0 + p1 + ... + pn = 1 .                                    (10)
          Решим эту систему уравнений. Из первого уравнения (9) выразим p1 через p0 :
                                                              λ01
                                                      p1 =        p.                                    (11)
                                                              λ10 0
Из второго, с учетом (11), получим:
                                                   λ12     λ λ
                                            p2 =       p1 = 12 01 p0 ;                                  (12)
                                                   λ21     λ21λ10
из третьего, с учетом (12),
                                                   λ23λ12 λ01
                                            p3 =              p ,
                                                   λ32 λ21λ10 0
и вообще, для любого k (от 1 до n ):



5
    При анализе численности популяций считают, что состояние      Sk   соответствует численности популяции, рав-
ной  k , и переход системы из состояния S k в состояние S k +1 происходит при рождении одного члена популя-
ции, а переход в состояние S k −1 – при гибели одного члена популяции.