Теория массового обслуживания. Саакян Г.Р. - 14 стр.

                                                                                           13

вероятность состояния S 0 , т.е. p0 = 0,5 , то это означает, что в среднем половину времени
система находится в состоянии S 0 .
      Как же вычислить предельные вероятности? Очень просто. Так как предельные веро-
ятности постоянны, то, заменяя в уравнениях Колмогорова их производные нулевыми значе-
ниями, получим систему линейных алгебраических уравнений, описывающих стационарный
режим. Для системы S с графом состояний, изображенном на рис. 6, такая система уравне-
ний имеет вид:
                                  ⎧(λ01 + λ02 ) p0 = λ10 p1 + λ20 p2 ,
                                  ⎪(λ + λ ) p = λ p + λ p ,
                                  ⎪ 10      13    1    01 0     31 3
                                  ⎨                                                   (6)
                                  ⎪(λ20 + λ23 ) p2 = λ02 p0 + λ32 p3 ,
                                  ⎪⎩(λ31 + λ32 ) p3 = λ13 p1 + λ23 p2 .
       Систему можно составить непосредственно по размеченному графу состояний, если
руководствоваться правилом, согласно которому слева в уравнениях стоит предельная веро-
ятность данного состояния pi , умноженная на суммарную интенсивность всех потоков,
ведущих из данного состояния, а справа – сумма произведений интенсивностей всех пото-
ков, входящих в i -е состояние, на вероятности тех состояний, из которых эти потоки ис-
ходят.
       Эту систему из четырех уравнений с четырьмя неизвестными p0 , p1 , p2 , p3 ,
казалось бы, вполне можно решить. Но вот беда: уравнения (6) однородны (не имеют сво-
бодного члена) и, значит, определяют неизвестные только с точностью до произвольного
множителя. К счастью, мы можем воспользоваться нормировочным условием
                                               3

                                              ∑p
                                              i =0
                                                     i   =1
и с его помощью решить систему. При этом одно (любое) из уравнений можно отбросить
(оно вытекает как следствие из остальных).
       Пример 1. Найти предельные вероятности для системы S (см. рисунок 6 и соответст-
вующий пример) при λ01 = 1, λ02 = 2, λ10 = 2, λ13 = 2, λ20 = 3, λ23 = 1, λ31 = 3, λ32 = 2.
       Решение. Система алгебраических уравнений, описывающих стационарный режим
для данной СМО, имеет вид (6) или
                                          ⎧3 p0 = 2 p1 + 3 p2 ,
                                          ⎪4 p = p + 3 p ,
                                          ⎪ 1        0     3
                                          ⎨                                          (7)
                                          ⎪4 p2 = 2 p0 + 2 p3 ,
                                          ⎪⎩ p0 + p1 + p2 + p3 = 1.
(Здесь вместо одного «лишнего» уравнения системы (6) записали нормировочное условие).
       Решив систему (7), получим p0 = 0,4 , p1 = 0,2 , p2 = 0,27 , p3 = 0,13 , т.е. в пре-
дельном стационарном режиме система S в среднем 40% времени будет находиться в со-
стоянии S 0 (оба узла исправны), 20% – в состоянии S1 (первый узел ремонтируется, второй
работает), 27% – в состоянии S 2 (второй узел ремонтируется, первый работает) и 13% вре-
мени – в состоянии S 3 (оба узла ремонтируются).
       Пример 2. Найти средний чистый доход от эксплуатации в стационарном режиме сис-
темы S в условиях предыдущего примера. Если известно, что в единицу времени исправная
работа первого и второго узлов приносит доход соответственно в 10 и 6 ден. ед., а их ремонт
требует затрат соответственно в 4 и 2 ден. ед. Оценить экономическую эффективность
имеющейся возможности уменьшения вдвое среднего времени ремонта каждого из двух уз-