Теория массового обслуживания. Саакян Г.Р. - 13 стр.

                                                                                                       12

         Применяя теорему сложения вероятностей (для попарно несовместных событий), по-
лучим:
                  p0 (t + Δt ) = p1 (t )λ 10 Δt + p2 (t )λ 20 Δt + p0 (t )(1 − (λ 01 + λ 02 )Δt ) ,
откуда
                p0 (t + Δt ) − p0 (t )
                                       = p1 (t )λ 10 + p2 (t )λ 20 − (λ 01 + λ 02 ) p0 (t ) .
                         Δt
       Переходя к пределу при Δt → 0 (приближенные равенства, связанные с применени-
ем формулы (4), перейдут в точные), получим в левой части уравнения производную p0′ (t )
(обозначим ее для простоты p0′ ):
                               p0′ = λ10 p1 + λ20 p2 − (λ01 + λ02 ) p0 .
      Получено дифференциальное уравнение первого порядка. Рассуждая аналогично для
других состояний системы S , можно получить систему дифференциальных уравнений Кол-
могорова для вероятностей состояний:
                               ⎧ p0′ = λ10 p1 + λ20 p2 − (λ01 + λ02 ) p0 ,
                               ⎪ p′ = λ p + λ p − ( λ + λ ) p ,
                               ⎪ 1       01 0     31 3      10    13    1
                               ⎨                                                                      (5)
                               ⎪ p′2 = λ02 p0 + λ32 p3 − (λ20 + λ23 ) p2 ,
                               ⎪⎩ p3′ = λ13 p1 + λ23 p2 − (λ31 + λ32 ) p3 .
       Сформулируем правило составления уравнений Колмогорова. В левой части каждого
из них стоит производная вероятности i -го состояния. В правой части – сумма произведе-
ний вероятностей всех состояний, из которых идут стрелки в данное состояние, умножен-
ных на интенсивности соответствующих потоков событий, минус суммарная интенсив-
ность всех потоков, выводящих систему из данного состояния, умноженная на вероят-
ность данного ( i -го) состояния.
       В системе (5) независимых уравнений на единицу меньше общего числа уравнений.
Поэтому для решения системы необходимо добавить уравнение
                                                   3

                                                  ∑ p (t ) = 1 .
                                                  i =0
                                                         i


       Особенность решения дифференциальных уравнений вообще состоит в том, что тре-
буется задавать так называемые начальные условия, в данном случае – вероятности состоя-
ний системы в начальный момент t = 0 . Так, например, систему уравнений (5) естественно
решать при условии, что в начальный момент оба узла исправны и система находилась в со-
стоянии S 0 , т.е. при начальных условиях p0 (0) = 1 , p1 (0) = p2 (0) = p3 (0) = 0 .
       Как решать подобные уравнения? Вообще говоря, системы линейных дифференци-
альных уравнений с постоянными коэффициентами можно решать аналитически, но это
удобно, когда число уравнений не превосходит двух (иногда – трех). Если уравнений боль-
ше, обычно их решают численно – вручную или на ЭВМ.
       Уравнения Колмогорова дают возможность найти все вероятности состояний как
функции времени. Особый интерес представляют вероятности системы pi (t ) в предельном
стационарном режиме, т.е. при t → ∞ , которые называются предельными (финальными)
вероятностями состояний.
       В теории случайных процессов доказывается, что если число состояний системы ко-
нечно и из каждого из них можно (за конечное число шагов) перейти в любое другое состоя-
ние, то предельные вероятности существуют.
       Предельная вероятность состояния S i имеет четкий смысл: она показывает среднее
относительное время пребывания системы в этом состоянии. Например, если предельная