Теория массового обслуживания. Саакян Г.Р. - 11 стр.

                                                                                                         10

       Пример 1 (немарковского случайного процесса). Возьмем ранее рассмотренную сис-
тему, представляющую собой группу из n самолетов, совершающих налет на территорию
противника, обороняемую системой ПВО. Состояние системы в «будущем» зависит от того,
когда и каким образом система пришла в «настоящее» состояние. В данном случае нельзя не
учитывать предысторию процесса, а именно, как быстро часть самолетов данной группы бы-
ла уничтожена системой ПВО.
       Пример 2 (немарковского случайного процесса). Рассмотрим процесс игры в шахма-
ты; система S – группа шахматных фигур. Состояние системы характеризуется числом фи-
гур (обеих сторон) и позицией на шахматной доске в момент времени t0 . Будущее состояние
системы (в момент t > t 0 ) зависит не только от состояния в «настоящем», но и от того, когда
и, главное, каким образом система пришла в это состояние. А именно, если один из против-
ников имеет материальное и/или позиционное преимущество, то важно знать, случайно или
закономерно получено это преимущество, как развивалась партия (т.е. изменялись состояния
системы) и т.д., поскольку от ответов на эти вопросы зависит информация о квалификации
шахматистов, а следовательно, возможность предсказать изменение состояний системы.
        На практике марковские процессы в чистом виде обычно не встречаются, но нередко
приходится иметь дело с процессами, которые можно приближенно считать марковскими,
т.е. такие, для которых влиянием «предыстории» можно пренебречь. Кроме того, существу-
ют приемы, позволяющие сводить немарковские случайные процессы к марковским. Напри-
мер, можно вводить в состав параметров, характеризующих настоящее состояние системы,
те параметры из прошлого, от которых зависит будущее (в этом случае говорят о «маркови-
зации» случайного процесса). Правда, такая процедура нередко приводит к сильному услож-
нению математического аппарата. Существуют и другие приемы сведения немарковских
случайных процессов к марковским.

                   Уравнения Колмогорова. Предельные вероятности состояний

      Если все потоки событий, переводящие систему S из состояния в состояние, – про-
стейшие, то процесс, протекающий в системе, будет марковским 4. Это и естественно, так как
простейший поток не обладает последействием: в нем «будущее» не зависит от «прошлого».
      Рассмотрим математическое описание марковского случайного процесса с дискрет-
ными состояниями и непрерывным временем на следующем примере.
      Пример. Техническое устройство S состоит из двух узлов, каждый из которых в слу-
чайный момент времени может выйти из строя (отказать), после чего мгновенно начинается
ремонт узла, продолжающийся заранее неизвестное случайное время.
      Возможные состояния системы можно перечислить: S 0 – оба узла исправны; S1 –
первый узел ремонтируется, второй исправен; S 2 – второй узел ремонтируется, первый ис-
правен; S 3 – оба узла ремонтируются.
       Будем полагать, что все переходы системы из состояния S i в S j происходят под воз-
действием простейших потоков событий с интенсивностями              λij ( i, j = 0,1,2,3 ); так, переход
системы из состояния S 0 в S1 будет происходить под воздействием потока отказов первого
узла, а обратный переход из состояния S1 в S 0 – под воздействием потока «окончаний ре-
монтов» первого узла и т.п.
       Граф состояний системы с проставленными у стрелок интенсивностями называют
размеченным (рис. 6).


4
 Простейший характер потоков – достаточное, но не необходимое условие для того, чтобы процесс был мар-
ковским.