Теория массового обслуживания. Саакян Г.Р. - 10 стр.

                                                                                                      9

                                                  P(T ≥ t ) = e − λ t ,
а вероятность противоположного события, т.е. функция распределения случайной величины
T , есть
                                  F (t ) = P (T < t ) = 1 − e − λ t .             (3)
       Функция распределения (3) определяет показательный (экспоненциальный) закон
распределения. Таким образом, интервал времени между двумя произвольными соседними
событиями простейшего потока имеет показательное распределение, для которого матема-
тическое ожидание равно среднему квадратичному отклонению случайной величины:
                                                                1
                                                    a =σ =          ,
                                                                λ
и обратно по величине интенсивности потока λ .
       Для простейшего потока с интенсивностью λ вероятность попадания на элементар-
ный (малый) отрезок времени Δ t хотя бы одного события потока равна согласно (3):
                                   PΔ t = P (T < Δ t ) = 1 − e − λΔ t ≈ λ Δ t .                 (4)
                                                                                   −λ Δ t
      Эта приближенная формула, получаемая заменой функции e           лишь двумя первы-
ми членами ее разложения в ряд по степеням Δ t , тем точнее, чем меньше Δ t .

                           Понятие марковского случайного процесса

      Математический анализ работы СМО существенно упрощается, если процесс этой ра-
боты – марковский. Случайный процесс, протекающий в системе S , называется марковским
(или процессом без последействия), если он обладает следующим свойством: для каждого
момента времени t 0 вероятность любого состояния системы в будущем (при t > t 0 ) зависит
только от ее состояния в настоящем (при t = t 0 ) и не зависит от того, когда и каким образом
система перешла в это состояние, т.е. не зависит от ее поведения в прошлом (при t < t0 ).
       Ранее мы уже упоминали об аналогичном свойстве некоторых потоков событий (от-
сутствии последействия). Не надо понимать марковское свойство случайного процесса как
полную независимость «будущего» от «прошлого»; нет, в общем случае «будущее» зависит
от «настоящего», т.е. вероятности pi (t ) при t > t 0 зависят от того, в каком состоянии si на-
ходится система в настоящем (при t = t 0 ); само же это «настоящее» зависит от «прошлого»,
от того, как вела себя система S при t < t0 . Это можно сформулировать следующим обра-
зом: для марковского случайного процесса «будущее» зависит от «прошлого» только через
«настоящее» (рис. 5). При фиксированном «настоящем» условные вероятности всех состоя-
ний системы в «будущем» не зависят от предыстории процесса, т.е. от того, когда и как сис-
тема S к моменту t 0 пришла в состояние si .


                                   Пр о
                                       шл о                          ущ   ее
                                              е                  Буд
                          t < t0                                          t > t0



                0
                                                   t0
                                                                                            t
                                              Настоящее
                                                  Рисунок 5.