Теория массового обслуживания. Саакян Г.Р. - 8 стр.

                                                                                           7

       2. Поток событий называется потоком без последействия, если для любых двух не-
          пересекающихся участков времени τ 1 и τ 2 число событий, попадающих на один
          из них, не зависит от числа событий попавших на другой. По сути, это означает,
          что события, образующие поток, появляются в те или иные моменты времени не-
          зависимо друг от друга, вызванные каждое своими собственными причинами. На-
          пример, поток пассажиров, входящих в метро, практически не имеет последейст-
          вия. А вот поток покупателей, отходящих с покупками от прилавка, уже имеет по-
          следействие (хотя бы потому, что интервал времени между отдельными покупате-
          лями не может быть меньше, чем минимальное время обслуживания каждого из
          них).
       3. Поток событий называется ординарным, если вероятность попадания на малый
          (элементарный) участок времени Δt двух и более событий пренебрежимо мала по
          сравнению с вероятностью попадания одного события. Другими словами, поток
          событий ординарен, если события появляются в нем поодиночке, а не группами.
          Например, поток поездов, подходящих к станции, ординарен, а поток вагонов –
          неординарен.
       Поток событий называется простейшим (или стационарным пуассоновским), если
он одновременно стационарен, ординарен и не имеет последействия. Название «простей-
ший» объясняется тем, что СМО с простейшими потоками имеет наиболее простое матема-
тическое описание. Между прочим, самый простой, на первый взгляд, регулярный поток не
является «простейшим», так как обладает последействием: моменты появления событий в
таком потоке связаны жесткой, функциональной зависимостью. Без специальных усилий по
поддержанию его регулярности такой поток обычно не создается.
       Простейший поток в качестве предельного возникает в теории случайных процессов
столь же естественно, как в теории вероятностей нормальное распределение получается в ка-
честве предельного для суммы случайных величин: при наложении (суперпозиции) доста-
точного большого числа n независимых, стационарных и ординарных потоков (сравнимых
между собой по интенсивностям λi (i = 1,2,..., n) ) получается поток, близкий к простей-
шему с интенсивностью λ , равной сумме интенсивностей входящих потоков, т.е.
                                                    n
                                            λ = ∑ λi .
                                                   i =1

       Название «пуассоновский» связано с тем, что при соблюдении 1 – 3 число событий,
попадающих на любой фиксированный интервал времени, будет распределено по закону Пу-
ассона. Покажем это с помощью элементарных рассуждений.
       Рассмотрим на оси времени Ot простейший поток событий как неограниченную по-
следовательность случайных точек (рис. 4).
                                               τ

            O                                                               t
                                              Рисунок 4.
        Пусть случайная величина X выражает число событий (точек), попадающих на про-
извольный промежуток времени τ . Покажем, что случайная величина X распределена по
закону Пуассона.
        □ Разобьем мысленно временной промежуток τ на n равных элементарных отрезков
Δ t = τ n . Математическое ожидание числа событий, попадающих на элементарный отрезок
Δ t , очевидно, равно λ ⋅ Δ t , где λ – интенсивность потока (т.к. на единицу длины попадает
в среднем λ точек). Согласно свойству ординарности потока можно пренебречь вероятно-
стью попадания на элементарный (т.е. малый) отрезок двух и более событий. Поэтому мате-