Теория массового обслуживания. Саакян Г.Р. - 6 стр.

                                                                                                               5

       Случайный процесс, протекающий в СМО, состоит в том, что система в случайные
моменты времени переходит из одного состояния в другое: меняется число занятых каналов,
число заявок, стоящих в очереди, и т.п. Это означает, что СМО представляет собой физиче-
скую систему дискретного типа с конечным (или счетным) множеством состояний 3, а пере-
ход системы из одного состояния в другое происходит скачком, в момент, когда осуществля-
ется какое-то событие (приход новой заявки, освобождение канала, уход заявки из очереди и
т.п.).
       Рассмотрим физическую систему X с не более, чем счетным множеством состояний
                                                       x1 , x2 ,..., xn ,...
В любой момент времени t система X может быть в одном из этих состояний. Обозначим
pk (t ) (k = 1,2,..., n,...) вероятность того, что в момент t система будет находиться в со-
стоянии xk . Очевидно, для любого t
                                                   ∑p
                                                   k
                                                         k   (t ) = 1.
Случайные процессы с дискретными состояниями (не более, чем счетным множеством со-
стояний) бывают двух типов: с дискретным или непрерывным временем. Первые отличаются
тем, что переходы из состояния в состояние могут происходить только в строго определен-
ные, разделенные конечными интервалами моменты времени t1 , t 2 ,... Случайные процессы с
непрерывным временем отличаются тем, что переход системы из состояния в состояние воз-
можен в любой момент времени t .
       В качестве примера дискретной системы X , в которой протекает случайный процесс
с непрерывным временем, рассмотрим группу из n самолетов, совершающих налет на тер-
риторию противника, обороняемую системой ПВО. Ни момент обнаружения группы, ни мо-
мент начала работы пусковых установок системы ПВО заранее не известны. Различные со-
стояния системы соответствуют различному числу пораженных самолетов в составе группы:
                   x0 – не уничтожено ни одного самолета,
                         x1 – уничтожен ровно один самолет,
                  …………………………………….
                   xn – уничтожены все n самолетов.
      Схема возможных состояний системы и возможных переходов из состояния в состоя-
ние показана на рисунке 2 (такая схема называется графом состояний).



                                x0            x1                x2             ...   xn

                                         Рисунок 2.
      Стрелками показаны возможные переходы системы из состояния в состояние. Закруг-
ленная стрелка, направленная из состояния xk в него же, означает, что система может не
только перейти в соседнее состояние xk +1 , но и остаться в прежнем. Для данной системы ха-
рактерны необратимые переходы (уничтоженные самолеты не восстанавливаются); в связи с
этим из состояния xn никакие переходы в другие состояния уже невозможны.
      Отметим, что граф состояний на рис. 2 показывает только переходы из состояния в
соседнее состояние и не показывает «перескоки» через состояние: эти перескоки отброшены

3
    В математике счетным называется бесконечное множество, элементы которого можно перенумеровать, т.е.
записать в виде последовательности   a1 , a2 ,..., an ,... . Если множество конечное или счетное, то его называют
не более, чем счетным.