Теория массового обслуживания. Саакян Г.Р. - 9 стр.

                                                                                          8

матическое ожидание λ ⋅ Δ t числа точек, попадающих на участок Δ t , будет приближенно
(с точностью до бесконечно малых высшего порядка при Δ t → 0 ) равно вероятности попа-
дания на него одной точки (или, что в наших условиях равнозначно, хотя бы одной).
       Будем считать элементарный отрезок Δ t «занятым», если в нем появилось событие
потока, и «свободным», если не появилось. Вероятность того, что отрезок Δ t = τ n окажет-
ся «занятым», равна    λ Δ t = λτ n ; вероятность того, что он окажется «пустым», равна
1 − λτ n (чем меньше Δ t , тем точнее равенства).
       Число занятых элементарных отрезков, т.е. число X событий на всем временном
промежутке τ , можно рассматривать как случайную величину, имеющую биномиальный за-
кон распределения (с параметрами n и p = λτ n ), а, следовательно, по формуле Бернулли
                                                               n−m
                                               ⎛ λτ ⎞ ⎛ λτ ⎞
                                                     m

                               P ( X = m ) = C ⎜ ⎟ ⎜1 −
                                             m
                                             n             ⎟         .
                                               ⎝ n ⎠ ⎝   n ⎠
      (Необходимое для возникновения биномиального закона условие независимости ис-
пытаний, в данном случае – независимость n элементарных отрезков относительно события
«отрезок занят», обеспечивается свойством отсутствия последействия потока).
      Известно, что при неограниченном увеличении числа элементарных отрезков Δ t , т.е.
                  λτ                                                     λτ
при n → ∞ , p =        → 0 и постоянном значении произведения np = n    = λτ биноми-
                   n                                                  n
альное распределение стремится к распределению Пуассона с параметром a = λτ :
                                            (λτ ) m −λτ
                                  Pm (τ ) =        e .                           (1)
                                              m!
       От этого свойства закона Пуассона – выражать биномиальное распределение при
большом числе опытов и малой вероятности события – происходит его название, часто при-
меняемое в учебниках статистики: закон редких явлений.
       В частности, вероятность того, что за время τ не произойдет ни одного события
( m = 0 ), равна
                                            P0 (τ ) = e − λτ . ■                       (2)
       Пример. На автоматическую телефонную станцию поступает простейший поток вы-
зовов с интенсивностью λ = 1,2 вызовов в минуту. Найти вероятность того, что за две мину-
ты: а) не придет ни одного вызова; б) придет ровно один вызов; в) придет хотя бы один вы-
зов.
       Решение. а) Случайная величина X – число вызовов за две минуты – распределена
по закону Пуассона с параметром λτ = 1,2 ⋅ 2 = 2,4 . Вероятность того, что вызовов не будет
( m = 0 ), по формуле (2):
                                        P0 (2) ≈ e −2 , 4 ≈ 0,091.
       б) Вероятность одного вызова ( m = 1 ) по формуле (1):
                                    P1 (2) ≈ 2,4 ⋅ 0,091 ≈ 0,218 .
       в) Вероятность хотя бы одного вызова:
                     P( X ≥ 1) = 1 − P( X = 0) = 1 − P0 (2) ≈ 1 − 0,091 = 0,909 .

      Найдем распределение интервала времени T между двумя произвольными соседними
событиями простейшего потока.
      В соответствии с формулой (2) вероятность того, что на участке времени длиной t не
появится ни одного из последующих событий, равна